《爱的"冷漠"》

你说:来,
让我告诉你
那一夜,我独自途经的一切…
黎明的时候,
你把声音提高了十分贝,
我乖乖的坐下,接受了冲开的怒气。
那一刻爱的火焰就埋在了胸膛里,
烧起的喉咙,把它咽下去,
欢喜时的明媚,也把它咽下去,
我不会与轻浮赛跑,
也还不能停止思"考",
宁伏的黎明,咬住了黑夜的边缘。
要一个一瞬间满天星斗的夜晚,
碎裂的星星掉下来一点声响都没有。
我按住微澜,只因,
怕你的又一个黑夜来临。

“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例:“韩信点兵”问题.(07版高中新教材3,第88页例4)
韩信是汉高祖刘邦手下的大将,他英勇善战,智谋超群,为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候,为了保住军事机密,不让敌人知道部队的实力,采用了下述点兵的方法:先令士兵从1~3报数,结果最后一个士兵报2;再令士兵从1~5报数,结果最后一位士兵报到3;又令士兵从1~7报数,结果最后一个士兵报4.这样,韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法,求出士兵至少有多少人。
何为算法,粗略地讲,是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法:即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续,……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题:若设士兵总人数为N,则N=3K1+2(K1=0,1,2,…)其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名,则士兵总人数为N=5K2+3(K2=0,1,2,…),若采用循环1到7报数点名,则士兵总人数为N=7K3+4(K3=0,1,2,…).显然,满足上面三个条件中任意一个(或2个或3个)都不能确定士兵总人数N.理由很简单,从方程求解的角度来分析上面的三个条件,即满足
N=3K1+2(K1=0,1,2,…)

(I)
N=5K2+3(K2=0,1,2,…)

(II)
N=7K3+4(K3=0,1,2,…)

(III)
当满足一个条件时,相当于二元一次方程求正整数解,没有确定解;当满足其中任两个条件时,相当于两个三元一次方程组求正整数解,一般情况下无定解;当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解,通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数,但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I,可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数,至此,基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题,即由N=3K1+2(K1=0,1,2,…);
N=5K2+3(K2=0,1,2,…);
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…)可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3(*),求Nmin.由(*)可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道,它总可以分解为五个小问题,每个小问题的解决有相应确定的步骤,这就提醒我们可设计一个算法,借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢?可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2;第二步依次加3得出除3余2的一列数(通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…)2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…;第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8,正整数8既满足条件I,也满足条件II且是最小的符合要求的数,进而产生一个新的正整数数列,依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II,因为
N=15K4+8,(K4=0,1,2,…)
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 (其中5K4+2为正整数)
满足条件I
N=15K4+8,(K4=0,1,2,……)
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3

(其中3K4+1为正整数)
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后,就找到了所求数53,这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化,以便更简地获得结果呢?
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑,如附图(略).问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试,找是否有可行的算法,“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑,即产生三个数列:
N=3K1+2 (K1=0,1,2,…)
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3

(K2=0,1,2,…)
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4

(K4=0,1,2,…)
4,11,18,25,32,…,53,…

从这三个数列中找最小的相同项,即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序,上面式子不变,因而任取3,5,7的一个排列,就产生类似于上面算法的一个算法,比如,按由大到小即7,5,3步骤也可实现(见教材第89页算法),可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
(1)“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数?若有第二个数应该是多少?能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析,很快可以得到下面的一个公式,即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…),该公式是满足条件I,II,III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合,因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序,只要按这些步骤执行,就能使问题得到解决。
(2)对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法,可以通过交流思考,从中去粗取优,存精取巧,做求优求简的改进。寻求新的算法,掌握较成熟的少数算法,将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想,体会到一个问题的解决可能存在多种算法,有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明:
2007年新版高中数学教材还未试行,那时才开始全员培训高中教师,2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》,与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢!写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日 https://t.cn/A6PQ6kIC

以此(放屁)臭气,熏及三宝,将来必作粪坑中蛆(印光大师)

译文

学佛的人,夜间不可以裸体睡觉,必须穿长的衣裤,以使得心里常常保持如同在佛的面前一样。吃饭不可过饱,再好吃的饭,只可吃八九分饱。

如果吃十分饱,已经不滋养身体了。而吃十几分饱,身体里的各个器官必定受伤害。经常这样吃,必定短寿。

饭一吃的多,心神昏散、身体疲惫,不能充分消化,必定会放屁。放屁这件事,最是下流,最是罪过(译者注:此指在佛殿堂放屁)。佛殿僧堂,都要心存恭敬。烧香不过是表示洁净,究竟也没有多少香味。

如果吃饭多了所放的屁,极其臭秽,用这种臭气侵袭三宝。将来必定会做粪坑中的蛆。不吃得过多,就不会有屁。如果是受凉,感觉不舒服有屁,没有事就到外面的空地上放掉,等到臭气消散再回到殿堂中。

如果有事暂时不能出去,应当用力憋住,不一会儿,就会在肚子里散开了。有人说不放便会生病,这个话比放屁还有罪过,千万不可听。

当年佛祖制定戒律,没有说这件事,想来古人身体好,又不贪吃,所以没有这回事,所以佛没说。如果有,佛必定会说的。切不可认为佛没说就可以放,便是自己甘心堕落,佛也难以救度。

孔子以圣人的资格,朝见同是凡夫的国君,将要登上殿堂时,在外面的台阶上,便不敢自由呼吸,况且进入殿堂面见君王呢?所以论语说:摄齐升堂,鞠躬如也,屏气似不息者。

(摄就是提的意思。齐,音咨,衣服开岔的地方。鞠,弯曲的意思。屏,闭藏的意思。息,鼻子中的气息。孔子朝见君王,将要进入殿堂的时候,先是弯腰屈膝向里走,鞠躬,就会使衣服前面长而至拖地,所以必须提起衣岔离地约一尺高,才不至于踢到衣服或跌倒而失礼。孔子恭敬严肃到了极点,所以鼻子中的气息好像停止了,试看这是何等的敬畏。今天的人德行比孔子,就相比差得太远了。而君王比佛,又相差得太远。放屁和不放屁又相差太远了。静下心来想想,真是大地没有容身之所了,怎么能不极力保持恭敬呢?)

我们罪业深重的凡夫,在圣中圣,天中天的佛殿之中,三宝具足之地,竟敢不加约束任意放屁,所以说这种罪过,真是极大无比。许多人因为不看古大德的著述,以为古大德没说。

不知古德说的巧妙,说泄下气,然而现代人并不理会是什么意思,仍然不放在心上。

印光三四十年前,常常说这件事,后来试着问别人,人都不知道是什么事,所以只好直说放屁。你看唱戏骂人说放肆,就是说你说的话如同放屁。

人凡是在畏惧的时候,气都不敢大出,从哪里会放屁呢。这都是因为肆无忌惮,所以才有屁。你不要说放屁话,就不文雅,难听,我实在是要救人于做粪坑的蛆之前啊。

念佛人,早上起来做早课之前,以及大小便后,都必须洗手。凡是在身上抠,脚上摸,都要洗手。夏天在佛堂念佛的时候裤管不可敞开,要扎起来。随便吐痰、醒鼻涕,也是一大折福之事。

清净佛地,不但殿堂里不可吐,就是殿堂外面的净地上,也不可吐或者醒鼻涕。净地上一吐,就会现出肮脏的样子。

有些人肆无忌惮,房间的地上墙上随便乱吐,好好的一个房间,遍地满墙都是痰。他把吐痰当架子摆,久而久之就会生病,因为天天吐,饮食精华都变成痰吐掉了。

如果肯咽下去,时间长了就没有痰了,这个是用痰来治痰的最好方法。如果不能咽,做一个手帕,吐在上面放到衣服口袋里。然而这样也烦人,又不干净。还是不如咽了,又不烦人,又不污染,而且永远不会再因为吐痰而致病,这个是治痰病的最好的方法。

原文

学佛之人,夜间不可赤体睡,须穿衫袴,以心常如在佛前也。吃饭不可过度,再好的饭,只可吃八九程。若吃十程,已不养人。吃十几程,脏腑必伤。常如此吃,必定短寿。饭一吃多,心昏身疲,行消不动,必至放屁。放屁一事,最为下作,最为罪过。

佛殿僧堂,均须恭敬。若烧香,不过表心,究无甚香。若吃多了放的屁,极其臭秽,以此臭气,熏及三宝,将来必作粪坑中蛆。不吃过度,则无有屁。若或受凉,觉得不好,无事则出至空地放之,待其气消,再回屋中。如有事不能出外,当用力提之,不一刻,即在腹中散开矣。有谓,不放则成病,此话比放屁还罪过,万不可听。

佛制戒律,未说此事,想古人身体好,又不贪吃,无有此事,故未说。若有,佛必说之。切不可谓佛不说,就应当放,则是自求堕落,佛也难救矣。孔子以圣人之资格,朝于凡夫之国君,将欲升堂,在阶下,便不敢大出气,况入堂面君乎。故论语云。摄齐升堂,鞠躬如也,屏气似不息者。

(摄,提也。齐,音咨,与齐同,衣岔子也。鞠,曲也。屏,闭藏也。息,鼻中气也。孔子朝君,将升堂,先鞠躬而行。鞠躬,则衣前长,故必提其两岔,去地约一尺,方不至踢其衣而跌蹶失仪。严肃之极,故鼻中之气,似乎不出。试看此是何等敬畏。今人比孔子,则相去悬远。时君与佛,又相去悬远。放屁与不出气,又相去悬远。静言思之,直大地无容身之处矣,可不极力留心乎。)

吾人业力凡夫,在圣中圣,天中天之佛殿中,三宝具足之地,竟敢不加束敛,任意放屁,此之罪过,极大无比。许多人因不多看古德著述,当做古德不说。不知古德说的巧,云泄下气,他也不理会是什么话,仍不介意。

光三四十年前,常说此事,后试问之,人不知是何事,以故只好直说放屁耳。唱戏骂人说放肆,就是说你说的话是放屁。凡有所畏惧,气都不敢大出,从何会放屁。由其肆无忌惮,故才有屁。你勿谓说放屁话,为不雅听,我实在要救人于作粪坑之蛆之前耳。

晨起,及大小解,必须洗手。凡在身上抠,脚上摸,都要洗手。夏月袴腿不可敞开,要扎到。随便吐痰(鼻希)鼻,是一大折福之事。清净佛地,不但殿堂里不可吐(鼻希),即殿堂外净地上,也不可吐(鼻希)。

净地上一吐,便现出污相。有些人肆无忌惮,房里地上墙上乱吐,好好的一个屋子,遍地满墙都是痰。他以吐痰当架子摆,久久成病,天天常吐,饮食精华,皆变成痰了。若肯咽了,久则无痰,此是以痰杀痰最妙之法。

如不能咽,当袖一痰布,吐于其上复袖之。此亦劳人,又不洁净。不如咽了,又不劳人,又无污秽,而且永无痰病,是为治痰病之妙法。——《文钞》之《诫吾乡初发心学佛者书》印光大师著述佛弟子敬译


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