#数学##概率##期望##数学竞赛##数学挑战#

网友投稿询问一道题，觉得很有意思，其实这是一个马尔科夫问题。马尔科夫解法更通用，但是很复杂以及没有考虑到一般的转移概率分布的一些特性。这解法更初等一般人更容易看明白，特别是对于正多面体得到回到原点的解，异常简单。

一蚂蚁沿着简单多面体（或者平面连通图）的边爬行，若到达一顶点，则平均随机选连接这个顶点的一边继续爬，包含爬过来的边。

蚂蚁最开始从某顶点O出发，随机乱爬，若路径碰巧返回到O点，就停止爬行。

问蚂蚁爬行全程经过顶点次数的数学期望值？出发和终止O点只算一次，中间只要经过一次顶点就算一次，或者相当于每条边都算距离1，计算爬行的长度的期望值。

解：
假设从某点A出发，第n步到达O点的概率为pn，那么期望值f(0)= ∑pn*n，封闭联通图，最终所有都会到达终点，有∑pn*=1。

如果已经m步到达A再出发，那么到达O点的步数都延后m步，所以期望值

f(m)= ∑pn*(n+m)= ∑pn*n+ ∑pn*m=m+f(0) (1)

显然期望值对于起点步数线性。如果没有这一步直接得到（2）其实是有点缺乏严密性的，这一步很多直接用但是这一步不是太显然。

O点标记为第一点。设平面图顶点An出发到顶点O的距离期望值是an，顶点An的边是bn，O点出发再到O点的长度期望值是x。

对于O点a1=0
对于点其它An有：
an=1/bn* ∑fk(1)=1+1/bn*∑ak，(2）所有和An相连的顶点求和。
有了（1），得到（2）更好理解。

x=1+1/b1*∑ak。

求解方程就得到任意点出发到达O的路径期望值了。对于x还相当好求。

变形一下几个等式：
a1=0
bn*an=bn+∑ak

(3)
b1*x=b1+∑ak

所有等式相加，除了未知数x以外，其它未知数抵消，
b1*x=∑bn=2E ，E为连通图的边。
x=2E/b1

如果是正多面体，会有很简化的结果，得到，x=n。

没想到问题结果是这么简单漂亮。现实正多面体只有简单的几个，其实连通图还有更多形式的正多面体，连通图的“正多面体”只要是每个点都是相同的边就行。

没理解方程的可以对照下图更好理解，下图A点就是O点。

第一次发的没有错，只是把a1没有独立出来直接当成x，为了照顾和O连通的点，构造了一个cn，比较麻烦以及没那么容易理解。还有没有推导（1），直接得到（3）的另外一个表达式，不太容易理解。

#黄子弘凡[超话]##黄子弘凡密室大逃脱大神版#
综艺｜密室大逃脱大神版 第十&十一期资讯汇总

饭拍
https://t.cn/A6SkBWys https://t.cn/A6Su6cWw
https://t.cn/A6SkBWU7 https://t.cn/A6SkBWyF https://t.cn/A6SkBWUv

▪️220915第十期
预告https://t.cn/A6Snds0R
正片（上）https://t.cn/A6SuwuwJ
黄子微博https://t.cn/A6Su7CjW
剧照https://t.cn/A6S1C29w https://t.cn/A6S1ZPMN https://t.cn/A6Sr0yb9
好友提及&互动https://t.cn/A6SuMZLK https://t.cn/A6SkBWUw

饭绘https://t.cn/A6SkBWUz
饭修https://t.cn/A6SkBWUh https://t.cn/A6SkBWUP

▪️220922 第十一期
预告https://t.cn/A6Sg57oB
正片（下）https://t.cn/A6SeSVRi
黄子微博https://t.cn/A6SeJzJe https://t.cn/A6SeunCB
剧照https://t.cn/A6SkBWUZ https://t.cn/A6Sk9AN1

饭绘https://t.cn/A6SkBWUf

往期汇总https://t.cn/A6aWZK6d https://t.cn/A6SVQ2zX https://t.cn/A6SFMDwh

@华彩少年-黄子弘凡Lars

【整理汇总贴】OffGun1stFMinJP 图片合集
220922

机场图路透

https://t.cn/A6SFZBCn https://t.cn/A6SFZBCW
机场点名

https://t.cn/A6SFZBCg https://t.cn/A6SFZBCT

https://t.cn/A6SFZBCu https://t.cn/A6SFZBCm https://t.cn/A6SFwU3X
飞机上的小情侣 https://t.cn/A6SFZBCl

220923

日本背心塔 https://t.cn/A6SFZBC8 准备工作 https://t.cn/A6SFZBCR

幸运粉丝见面会图
塔塔单人
https://t.cn/A6SFZBCj https://t.cn/A6SFZBCr https://t.cn/A6SFZBCY
https://t.cn/A6SFZBC1 https://t.cn/A6SFZBCB
塔爸单人
https://t.cn/A6SFZBCe https://t.cn/A6SFZBCH https://t.cn/A6SFZBCk
双人
https://t.cn/A6SFZBC3 https://t.cn/A6SFZBCE https://t.cn/A6SFZBCQ
https://t.cn/A6SFZBN5 https://t.cn/A6SFZBNU https://t.cn/A6SFZBNG
https://t.cn/A6SFZBNt https://t.cn/A6SFZBNc
揉脸 https://t.cn/A6SFZBNw 点痣https://t.cn/A6SFZBNh
拍照https://t.cn/A6SFZBNL https://t.cn/A6SFZBNq

雨中邂逅 https://t.cn/A6SFZBNI https://t.cn/A6SFZBNV

0924见面会图

应援车 https://t.cn/A6SFZBNZ
开场

https://t.cn/A6SFZBNz https://t.cn/A6SFZBNA https://t.cn/A6SFZBNy

https://t.cn/A6SFZBN4
游戏

https://t.cn/A6SFZBN2 https://t.cn/A6SFZBNb https://t.cn/A6SFZBNf

https://t.cn/A6SFZBN7 https://t.cn/A6SFZBNE
送花

https://t.cn/A6SFZBpP https://t.cn/A6SFZBNm https://t.cn/A6SFZBNd

https://t.cn/A6SFZBNg https://t.cn/A6SFZBN3 https://t.cn/A6SFZBNH

https://t.cn/A6SFZBNH
塔塔单人 https://t.cn/A6SFZBNe https://t.cn/A6SFZBNn

https://t.cn/A6SFZBNB https://t.cn/A6SFZBph
塔爸单人 https://t.cn/A6SFZBNY https://t.cn/A6SFZBNF https://t.cn/A6SFXY3X
双人图片 https://t.cn/A6SFZBND https://t.cn/A6SFZBNR https://t.cn/A6SFZBN8

https://t.cn/A6SFZBNk https://t.cn/A6SFZBN1 https://t.cn/A6SFZBpv https://t.cn/A6SFZBNT
https://t.cn/A6SFZBNr https://t.cn/A6SFZBNu

https://t.cn/A6SFXSQR

https://t.cn/A6SFXY3a
大合照

https://t.cn/A6SFZBNs