正十二面体上的疯狂蚂蚁：另类解法

这个题把20个顶点按图距分类，只有6类：0、1、2、3、4、5步，列出各类之间期望值的迭代关系，不难解出来距离1时期望值等于19步，所以从原点出发再回来的期望值是20步。

我有一个另类的解法：把原题暂时改动一下，蚂蚁回到原出发点时不要停，永远爬下去。

正12面体有20个地位完全等同的顶点。蚂蚁每到一个顶点都必须走下一步，也就是必须离开这个顶点，这样一来，所有的顶点都是向外发散的，没有一个是安稳的坑。在0时间，放20亿只一样的蚂蚁从某顶点出发，经过一段时间后，如果有哪个顶点的蚂蚁数目多于其他，必定向外发散，最终经过无穷时间后结果一定是所有顶点蚂蚁数目均衡，任意时刻都各有1亿只蚂蚁。

现在去一个顶点询问每一只蚂蚁，你上次在现在的位置是多少步之前？每个顶点上一亿只蚂蚁的平均答案一定是20。因为如果均值小于20，那说明它们迫不及待地要回这个顶点，即存在特定群的蚂蚁对特定的顶点亲和力比较大（总体均衡仍可由20群专门亲和特定顶点的蚂蚁合成），这是没道理的，跟蚂蚁的均一性和正多面体顶点的对称性矛盾。反之亦然，如果平均答案大于20，说明有特定群的蚂蚁对特定的顶点排斥，也跟蚂蚁的均一性和正多面体顶点的对称性矛盾。所以，答案必须等于顶点数20。

【20220923】『饭拍』
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