#商务印书馆新书早知道# 《现代天文纵横谈》
“宇宙比任何人所能想像的还要大，如果只有我们，那就太浪费空间了。”
《现代天文纵横谈》脱胎于北京大学的选修课《现代天文学》的教材，并在经过精心的改写之后，降低了理论难度，删去理论性太强的内容，增加公众喜爱、能参与的内容，适合具有中学物理基础的广大读者阅读。本书对公众感兴趣的、可以参与观测和研究的天文现象和课题进行了探讨，如日月食观测、水星和金星凌日、彗星、流星及流星雨等，采用一定的篇幅介绍这些公众能够参与观测和研究的内容，是本现代天文学入门级别的好书。
简目：
上册
第一讲 天文学的发展
一、流行了1500年的托勒密“地心说”
二、哥白尼的“日心说”成为近代天文学的起点和基石
三、“日心说”的进一步验证
四、牛顿和万有引力定律
五、从经典天文学到现代天文学的转变
第二讲 中国古代天文学
一、天球坐标系、星座、星表和星图
二、丰富翔实的天象记录
三、先进的历法
四、享誉世界的天文观测仪器
五、中国古代天文学从辉煌走向衰落
第三讲 光学天文望远镜的发展
一、伽利略发明天文望远镜，开创天文学新天地
二、牛顿发明反射望远镜，拨正天文望远镜发展方向
三、光学望远镜的结构和重要参数
四、当代大型光学望远镜
五、我国的光学望远镜
六、下一代光学天文望远镜
第四讲 射电天文望远镜的发展
一、射电天文学的诞生和射电望远镜的基本原理
二、单天线射电望远镜的发展
三、口径超大的固定式射电望远镜
四、综合孔径射电望远镜
五、甚长基线干涉仪网
第五讲 宇宙航行的梦想和实现
一、航天事业发展的前奏
二、宇航事业伟大的突破――卫星满天飞
三、宇宙飞船、航天飞机和载人航天
四、中国和华裔宇航员在太空中英姿焕发
五、空间站的建造和太空行走、交会对接技术的发展
第六讲 月球和月球的空间探测
一、作为地球唯一卫星的月球
二、月面地形地貌
三、月球空间探测回顾
四、我国月球探测的“嫦娥工程”
第七讲 地球和类地行星
一、既普通又特殊的地球
二、难得一见的水星
三、最明亮的金星
四、最受关注的火星
第八讲 木星、类木行星和矮行星
一、太阳系行星之王的木星
二、最美丽的土星
三、遥远的天王星和海王星
四、行星大十字和行星连珠
五、冥王星和矮行星
六、神秘的柯伊伯带天体
第九讲 小行星、彗星和流星
一、备受重视的小行星
二、长尾游子彗星
三、流星、流星雨和陨星
四、天文爱好者已成为发现小天体的生力军
下册
第一讲 太阳和太阳活动
第二讲 多彩的恒星世界
第三讲 白矮星和中子星
第四讲 超新星和黑洞
第五讲 银河系和发现及其结构
第六讲 银河系里的星云世界
第七讲 河外星系
第八讲 类星体和引力透镜
第九讲 宇宙线、X射线和Y射线天文学
第十讲 膨胀中的宇宙及微波背景辐射
第十一讲 地外生命和文明的探索
附录1 读者园地
附录2 天文学大事记
“宇宙比任何人所能想像的还要大，如果只有我们，那就太浪费空间了。”
《现代天文纵横谈》脱胎于北京大学的选修课《现代天文学》的教材，并在经过精心的改写之后，降低了理论难度，删去理论性太强的内容，增加公众喜爱、能参与的内容，适合具有中学物理基础的广大读者阅读。本书对公众感兴趣的、可以参与观测和研究的天文现象和课题进行了探讨，如日月食观测、水星和金星凌日、彗星、流星及流星雨等，采用一定的篇幅介绍这些公众能够参与观测和研究的内容，是本现代天文学入门级别的好书。
简目：
上册
第一讲 天文学的发展
一、流行了1500年的托勒密“地心说”
二、哥白尼的“日心说”成为近代天文学的起点和基石
三、“日心说”的进一步验证
四、牛顿和万有引力定律
五、从经典天文学到现代天文学的转变
第二讲 中国古代天文学
一、天球坐标系、星座、星表和星图
二、丰富翔实的天象记录
三、先进的历法
四、享誉世界的天文观测仪器
五、中国古代天文学从辉煌走向衰落
第三讲 光学天文望远镜的发展
一、伽利略发明天文望远镜，开创天文学新天地
二、牛顿发明反射望远镜，拨正天文望远镜发展方向
三、光学望远镜的结构和重要参数
四、当代大型光学望远镜
五、我国的光学望远镜
六、下一代光学天文望远镜
第四讲 射电天文望远镜的发展
一、射电天文学的诞生和射电望远镜的基本原理
二、单天线射电望远镜的发展
三、口径超大的固定式射电望远镜
四、综合孔径射电望远镜
五、甚长基线干涉仪网
第五讲 宇宙航行的梦想和实现
一、航天事业发展的前奏
二、宇航事业伟大的突破――卫星满天飞
三、宇宙飞船、航天飞机和载人航天
四、中国和华裔宇航员在太空中英姿焕发
五、空间站的建造和太空行走、交会对接技术的发展
第六讲 月球和月球的空间探测
一、作为地球唯一卫星的月球
二、月面地形地貌
三、月球空间探测回顾
四、我国月球探测的“嫦娥工程”
第七讲 地球和类地行星
一、既普通又特殊的地球
二、难得一见的水星
三、最明亮的金星
四、最受关注的火星
第八讲 木星、类木行星和矮行星
一、太阳系行星之王的木星
二、最美丽的土星
三、遥远的天王星和海王星
四、行星大十字和行星连珠
五、冥王星和矮行星
六、神秘的柯伊伯带天体
第九讲 小行星、彗星和流星
一、备受重视的小行星
二、长尾游子彗星
三、流星、流星雨和陨星
四、天文爱好者已成为发现小天体的生力军
下册
第一讲 太阳和太阳活动
第二讲 多彩的恒星世界
第三讲 白矮星和中子星
第四讲 超新星和黑洞
第五讲 银河系和发现及其结构
第六讲 银河系里的星云世界
第七讲 河外星系
第八讲 类星体和引力透镜
第九讲 宇宙线、X射线和Y射线天文学
第十讲 膨胀中的宇宙及微波背景辐射
第十一讲 地外生命和文明的探索
附录1 读者园地
附录2 天文学大事记
【新时代新作为新篇章——新玉树书写发展新篇章】
脱贫攻坚战全面打响以来，玉树藏族自治州重点聚焦产业、生态、教育等领域，实施到户产业扶持、易地扶贫搬迁、教育扶贫、生态扶贫、技能培训等，先后实现了深度贫困乡镇摘帽、深度贫困村退出，12.9万贫困人口脱贫。
如今，站在玉树市当代山观景平台俯瞰，扎曲河穿城而过，一栋栋整洁的建筑拔地而起，玉树人民开启了幸福生活的新篇章，一座现代化的智慧城市屹立在高原之上。
筑牢生态安全屏障
玉树生态不仅承载着地理坐标上的“海拔高度”，更承载着保护国家生态安全屏障的“政治高度”。
三江源生态保护与建设二期工程、长江源生态保护项目等扎实推进，经过休养生息，五年来，玉树州森林覆盖率由2.8%提高到5.5%，草地植被覆盖度平均提高30个百分点。
总体看，三江源玉树地区生态系统不断调优，草原、灌木林总体呈增长趋势，森林生态功能进一步增强，生物多样性不断增加，水源涵养能力整体提高，三大江河境内流量保持稳定，三江源水源水质均达到I类以上，全州集中饮用水水源水质达标率100%，地表水水质达标率100%，草地退化趋势初步遏制，严重退化区植被覆盖率大幅提升，牧民生产生活条件明显改善，自实行饲料补助、燃料补助、困难补助、草原奖补等相关政策以来，全州累计为11.2万户兑现草原奖补资金，受益人口达31.4万人，农牧民生态补偿机制初步建立，总体实现“增草、增林、增水、增群、增收”，生态安全屏障日益牢固。
决战脱贫攻坚
玉树州地处青藏高原腹地，是长江、黄河、澜沧江的发源地，行政区划面积26.7万平方公里，占青海省面积的37.02%,平均海拔4200米。州辖玉树、称多、囊谦、杂多、治多、曲麻莱1市5县，11个镇34个乡4个街道办事处，258个村和49个社区，总人口42.25万人。
“十三五”以来，在省委省政府正确领导下，玉树州积极探索“一优两高”发展新路径，全力推进落实各项目标任务，多措并举稳增长、促改革、重生态、调结构、惠民生、防风险。
城镇居民人均可支配收入从2015年的25655元增长到2019年的35167元，增长37%；社会消费品零售总额从2015年的10.17亿元增长到2019年的14.1亿元，增长39%；游客人数从2015年的50.68万人次增长到2019年的147.78万人次，增长192%。旅游总收入从2015年的2.53亿元增长到2019年的9.4亿元，增长272%……一组组数据的背后，是玉树州日新月异的飞速发展。
如今的玉树，已如期实现6个贫困市县摘帽、104个贫困村退出、12.9万人脱贫，贫困发生率从2015年底的34%下降到2019年底的1%以内，全面完成近三年7020户2.8万人的易地搬迁和1669户危房改造任务，并全部实现入住。贫困人口家庭医生“双签约”和履约率均达100%。贫困村集体经济得到“破零”提升，贫困人口年人均收入从2015年的2970元上升到9100元以上，“3+1”保障得到有效解决。
共享幸福生活
走进新玉树，高原的蓝天白云下，一幢幢小楼整齐矗立。“十三五”以来，玉树州落实水电路暖住房、环境治理、农牧业发展等282个基础设施建设项目，总投资达43.68亿元。
综合型、立体型交通网络已具雏形。巴塘机场旅客吞吐量突破30万人次，省会西宁到州府公路达到高速化，州府到县基本实现二级公路连接，县乡道路通畅率达到89%，全州公路通车总里程达15794公里。
水利建设工程稳步推进。国庆水库、晓龙沟水库等重点水源工程加快实施，以农牧区人口和基层学校为重点，持续推进饮水安全问题“清零”。流域防洪能力显著增强，主要防洪保护区防洪标准达20年一遇，重要河道排洪标准达到10年一遇。
供电服务水平持续提升。实现了国网标准服务在县域全覆盖，大电网延伸乡镇覆盖率达到80%、行政村覆盖率达到56%，逐步实现深度贫困地区供电服务水平接近全省农村电网平均水平。
“十三五”以来，玉树州落实农牧区教育、文体广电、公共卫生、动物防疫、应急防灾等169个公共服务建设项目，总投资达11.16亿元。
教育事业稳步发展。学校基本办学条件得到改善。建成22所小学，囊谦、杂多、治多的3所民族中学和州属第四、第五民族高中，玉树海东高级中学。教育发展机会更加公平，学前三年毛入园率达到68%，持之以恒打好控辍保学攻坚战，义务教育巩固率达到95.7%，高中阶段毛入学率达到65%。各类各级学校在校生人数接近12万，创历史新高，异地办学达6000人以上。
健康保障能力不断提升。医疗基础设施建设水平提升较大，完成171个乡镇和村级卫生院标准化建设，玉树州第三人民医院正式建成投运。医疗服务水平逐步提高，“一站式”结算、“先住院、后结算”服务水平全面提升，四级卫生医疗服务体系逐步完善，城乡居民健康筛查工作扎实开展，农牧区孕产妇住院分娩率达到98.4%。
社会保障体系逐步完善。玉树州城乡居民医疗保险参保37.2万人，基本养老保险参保22万人，累计发放社会保障卡12.5万张，全面运用青海人社通APP和智慧眼生物技术系统。就业稳定，城镇登记失业率控制在3.5%以内，高校毕业生总体就业率达到87%。
文化事业积极推进。综合文化服务中心延伸至村级，公共体育基础设施普及水平提升，广播、电视综合人口覆盖率达到96.33%、95.88%。玉树人民的生活质量节节攀升，幸福指数不断提升。
走进新时代，发展新玉树，共享新生活。今年是中国共产党成立100周年，是玉树州建州70周年，站在新的历史起点上，玉树州将立足新时代发展要求，推动实现更高质量、更有效率、更加公平、更可持续、更加安全的发展。
（记者 郭红霞/文 海东/图）#青海#
脱贫攻坚战全面打响以来，玉树藏族自治州重点聚焦产业、生态、教育等领域，实施到户产业扶持、易地扶贫搬迁、教育扶贫、生态扶贫、技能培训等，先后实现了深度贫困乡镇摘帽、深度贫困村退出，12.9万贫困人口脱贫。
如今，站在玉树市当代山观景平台俯瞰，扎曲河穿城而过，一栋栋整洁的建筑拔地而起，玉树人民开启了幸福生活的新篇章，一座现代化的智慧城市屹立在高原之上。
筑牢生态安全屏障
玉树生态不仅承载着地理坐标上的“海拔高度”，更承载着保护国家生态安全屏障的“政治高度”。
三江源生态保护与建设二期工程、长江源生态保护项目等扎实推进，经过休养生息，五年来，玉树州森林覆盖率由2.8%提高到5.5%，草地植被覆盖度平均提高30个百分点。
总体看，三江源玉树地区生态系统不断调优，草原、灌木林总体呈增长趋势，森林生态功能进一步增强，生物多样性不断增加，水源涵养能力整体提高，三大江河境内流量保持稳定，三江源水源水质均达到I类以上，全州集中饮用水水源水质达标率100%，地表水水质达标率100%，草地退化趋势初步遏制，严重退化区植被覆盖率大幅提升，牧民生产生活条件明显改善，自实行饲料补助、燃料补助、困难补助、草原奖补等相关政策以来，全州累计为11.2万户兑现草原奖补资金，受益人口达31.4万人，农牧民生态补偿机制初步建立，总体实现“增草、增林、增水、增群、增收”，生态安全屏障日益牢固。
决战脱贫攻坚
玉树州地处青藏高原腹地，是长江、黄河、澜沧江的发源地，行政区划面积26.7万平方公里，占青海省面积的37.02%,平均海拔4200米。州辖玉树、称多、囊谦、杂多、治多、曲麻莱1市5县，11个镇34个乡4个街道办事处，258个村和49个社区，总人口42.25万人。
“十三五”以来，在省委省政府正确领导下，玉树州积极探索“一优两高”发展新路径，全力推进落实各项目标任务，多措并举稳增长、促改革、重生态、调结构、惠民生、防风险。
城镇居民人均可支配收入从2015年的25655元增长到2019年的35167元，增长37%；社会消费品零售总额从2015年的10.17亿元增长到2019年的14.1亿元，增长39%；游客人数从2015年的50.68万人次增长到2019年的147.78万人次，增长192%。旅游总收入从2015年的2.53亿元增长到2019年的9.4亿元，增长272%……一组组数据的背后，是玉树州日新月异的飞速发展。
如今的玉树，已如期实现6个贫困市县摘帽、104个贫困村退出、12.9万人脱贫，贫困发生率从2015年底的34%下降到2019年底的1%以内，全面完成近三年7020户2.8万人的易地搬迁和1669户危房改造任务，并全部实现入住。贫困人口家庭医生“双签约”和履约率均达100%。贫困村集体经济得到“破零”提升，贫困人口年人均收入从2015年的2970元上升到9100元以上，“3+1”保障得到有效解决。
共享幸福生活
走进新玉树，高原的蓝天白云下，一幢幢小楼整齐矗立。“十三五”以来，玉树州落实水电路暖住房、环境治理、农牧业发展等282个基础设施建设项目，总投资达43.68亿元。
综合型、立体型交通网络已具雏形。巴塘机场旅客吞吐量突破30万人次，省会西宁到州府公路达到高速化，州府到县基本实现二级公路连接，县乡道路通畅率达到89%，全州公路通车总里程达15794公里。
水利建设工程稳步推进。国庆水库、晓龙沟水库等重点水源工程加快实施，以农牧区人口和基层学校为重点，持续推进饮水安全问题“清零”。流域防洪能力显著增强，主要防洪保护区防洪标准达20年一遇，重要河道排洪标准达到10年一遇。
供电服务水平持续提升。实现了国网标准服务在县域全覆盖，大电网延伸乡镇覆盖率达到80%、行政村覆盖率达到56%，逐步实现深度贫困地区供电服务水平接近全省农村电网平均水平。
“十三五”以来，玉树州落实农牧区教育、文体广电、公共卫生、动物防疫、应急防灾等169个公共服务建设项目，总投资达11.16亿元。
教育事业稳步发展。学校基本办学条件得到改善。建成22所小学，囊谦、杂多、治多的3所民族中学和州属第四、第五民族高中，玉树海东高级中学。教育发展机会更加公平，学前三年毛入园率达到68%，持之以恒打好控辍保学攻坚战，义务教育巩固率达到95.7%，高中阶段毛入学率达到65%。各类各级学校在校生人数接近12万，创历史新高，异地办学达6000人以上。
健康保障能力不断提升。医疗基础设施建设水平提升较大，完成171个乡镇和村级卫生院标准化建设，玉树州第三人民医院正式建成投运。医疗服务水平逐步提高，“一站式”结算、“先住院、后结算”服务水平全面提升，四级卫生医疗服务体系逐步完善，城乡居民健康筛查工作扎实开展，农牧区孕产妇住院分娩率达到98.4%。
社会保障体系逐步完善。玉树州城乡居民医疗保险参保37.2万人，基本养老保险参保22万人，累计发放社会保障卡12.5万张，全面运用青海人社通APP和智慧眼生物技术系统。就业稳定，城镇登记失业率控制在3.5%以内，高校毕业生总体就业率达到87%。
文化事业积极推进。综合文化服务中心延伸至村级，公共体育基础设施普及水平提升，广播、电视综合人口覆盖率达到96.33%、95.88%。玉树人民的生活质量节节攀升，幸福指数不断提升。
走进新时代，发展新玉树，共享新生活。今年是中国共产党成立100周年，是玉树州建州70周年，站在新的历史起点上，玉树州将立足新时代发展要求，推动实现更高质量、更有效率、更加公平、更可持续、更加安全的发展。
（记者 郭红霞/文 海东/图）#青海#
#高等数学#
★用极限法计算函数曲线下的面积
第二步 推导lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
让我们在x轴上作m个不相连的小区间．让我们在这m个小区间上对连续函数f（x）设立m个曲边梯形，那么我们有m个△A（△A₁、ΔA₂、…、ΔAₘ）．相应地，再让我们在这m个小区间上对函数f（x）设立m个矩形．那么我们有m个△Ar（△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₘ）．这样就有m对△A－△Ar．我们可以证明lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1和lim(Δx→0)(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
以下证明 lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
让我们在x轴上随机选m个点（x₁、x₂、…、xₘ）．然后以这些点作为起点设立m个小区间［x₁，x₁＋Δx］、［x₂，x₂＋Δx］、…、［xₘ，xₘ＋Δx］，如图一所示．让我们在这m个小区间上对函数f（x）设立m个曲边梯形和m个矩形，如图二所示．
让△A₁，△Acrt₁和△Ar₁分别代表在小区间［x₁，x₁＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△A₁＝△Ar₁＋△Acrt₁．这里△Ar₁＝f（x₁）Δx．让△A₂、△Acrt₂和△Ar₂分别代表在小区间［x₂，x₂＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△A₂＝△Ar₂＋△Acrt₂，这里△Ar₂＝f（x₂）Δx．
让△Aₘ、△Acrtₘ和△Arₘ分别代表在小区间［xₘ，xₘ＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△Am＝△Arₘ－△Acrtₘ＝△Arₘ＋（-△Acrtₘ），这里△Arₘ＝f（xₘ）Δx．
在我们开始证明之前，我们要解释一件事．在一个小区间［x，x＋Δx］上，如果f（x）＜f（x＋Δx），那么△Acrt将为正；如果f（x）＞f（x＋Δx），△Acrt将为负．但在证明的过程中，我们将用到公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0．因此不论△Acrt为正或为负，lim(Δx→0)△Acrt/Δx都将为0．因此△Acrt的正负将不影响我们的结果．
让我们将△A₁＝△Ar₁＋△Acrt₁、△A₂＝△Ar₂＋△Acrt₂、…、△Aₘ＝△Arₘ＋（-△Acrtₘ）代入极限 lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)，得
lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Acrt₁)+(△Ar₂+△Acrt₂)+…+(△Arₘ＋(-△Acrtₘ))]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))]
分子分母同时除以Δx
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))/Δx]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)+lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)+…+lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx]
根据公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0，我们有lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)＝0、lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)＝0、…、lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx＝0
因此上式
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx]
＝lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx╱[lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx]
＝ [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)]/ [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]
＝1
在上面的讨论中，m个小区间是分开设立的．如果将m个小区间连接设立，上式仍然成立．
让我们设立m个连接的小区间，第一个小区间为［x₁，x₁＋Δx］，第二个小区间为［x₁＋Δx，x₁＋2Δx］，…，第m个小区间为［x₁＋（m－1）Δx，x₁＋mΔx］．第一小区间至第m小区间的起始点坐标依次为x₁＝x₁，x₂＝x₁＋Δx，…，xₘ＝x₁＋（m－1）Δx，如图三所示．公式推导过程如下：
lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Acrt₁)+(△Ar₂+△Acrt₂)+…+(△Arₘ＋(-△Acrtₘ))]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))]
分子分母同时除以Δx
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))/Δx]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)+lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)+…+lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx]
根据公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0，我们有lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)＝0、lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)＝0、…、lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx＝0
因此上式
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx]
＝lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx╱[lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx]
＝ lim(Δx→0)[f(x₁)Δx+f(x₁+Δx)Δx+…+f(x₁+(m-1)Δx)Δx]/ lim(Δx→0)[f(x₁)Δx+f(x₁+Δx)Δx+…+f(x₁+(m-1)Δx)Δx]
因函数f(x)是连续函数，故有lim(Δx→0)f(x+mΔx)＝f(x)．因此上式等于
＝m • f(x₁)/m • f(x₁)＝1
同理我们也能证明lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)．
现在我们有公式
lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
和
lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
这两个公式指出：如果对连续函数f（x）设立m对曲边梯形——矩形，从而有m个△A与m个相对应的△Ar，那么当Δx→0时，所有△Ar之和与所有△A之和之比的极限等于1．这两个公式称为陶氏△A－△Ar定理．
★用极限法计算函数曲线下的面积
第二步 推导lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
让我们在x轴上作m个不相连的小区间．让我们在这m个小区间上对连续函数f（x）设立m个曲边梯形，那么我们有m个△A（△A₁、ΔA₂、…、ΔAₘ）．相应地，再让我们在这m个小区间上对函数f（x）设立m个矩形．那么我们有m个△Ar（△Ar₁、△Ar₂、…、△Arₘ）．这样就有m对△A－△Ar．我们可以证明lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1和lim(Δx→0)(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
以下证明 lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
让我们在x轴上随机选m个点（x₁、x₂、…、xₘ）．然后以这些点作为起点设立m个小区间［x₁，x₁＋Δx］、［x₂，x₂＋Δx］、…、［xₘ，xₘ＋Δx］，如图一所示．让我们在这m个小区间上对函数f（x）设立m个曲边梯形和m个矩形，如图二所示．
让△A₁，△Acrt₁和△Ar₁分别代表在小区间［x₁，x₁＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△A₁＝△Ar₁＋△Acrt₁．这里△Ar₁＝f（x₁）Δx．让△A₂、△Acrt₂和△Ar₂分别代表在小区间［x₂，x₂＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△A₂＝△Ar₂＋△Acrt₂，这里△Ar₂＝f（x₂）Δx．
让△Aₘ、△Acrtₘ和△Arₘ分别代表在小区间［xₘ，xₘ＋Δx］上的曲边梯形的面积、曲边直角三角形的面积和矩形的面积，如图二所示．我们有△Am＝△Arₘ－△Acrtₘ＝△Arₘ＋（-△Acrtₘ），这里△Arₘ＝f（xₘ）Δx．
在我们开始证明之前，我们要解释一件事．在一个小区间［x，x＋Δx］上，如果f（x）＜f（x＋Δx），那么△Acrt将为正；如果f（x）＞f（x＋Δx），△Acrt将为负．但在证明的过程中，我们将用到公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0．因此不论△Acrt为正或为负，lim(Δx→0)△Acrt/Δx都将为0．因此△Acrt的正负将不影响我们的结果．
让我们将△A₁＝△Ar₁＋△Acrt₁、△A₂＝△Ar₂＋△Acrt₂、…、△Aₘ＝△Arₘ＋（-△Acrtₘ）代入极限 lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)，得
lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Acrt₁)+(△Ar₂+△Acrt₂)+…+(△Arₘ＋(-△Acrtₘ))]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))]
分子分母同时除以Δx
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))/Δx]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)+lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)+…+lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx]
根据公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0，我们有lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)＝0、lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)＝0、…、lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx＝0
因此上式
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx]
＝lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx╱[lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx]
＝ [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)]/ [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]
＝1
在上面的讨论中，m个小区间是分开设立的．如果将m个小区间连接设立，上式仍然成立．
让我们设立m个连接的小区间，第一个小区间为［x₁，x₁＋Δx］，第二个小区间为［x₁＋Δx，x₁＋2Δx］，…，第m个小区间为［x₁＋（m－1）Δx，x₁＋mΔx］．第一小区间至第m小区间的起始点坐标依次为x₁＝x₁，x₂＝x₁＋Δx，…，xₘ＝x₁＋（m－1）Δx，如图三所示．公式推导过程如下：
lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Acrt₁)+(△Ar₂+△Acrt₂)+…+(△Arₘ＋(-△Acrtₘ))]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))]
分子分母同时除以Δx
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[(△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋(△Acrt₁+△Acrt₂+…+(-△Acrtₘ))/Δx]
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx＋lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)+lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)+…+lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx]
根据公式lim(Δx→0)△Acrt/Δx＝0，我们有lim(Δx→0) (△Acrt₁/Δx)＝0、lim(Δx→0)(△Acrt₂/Δx)＝0、…、lim(Δx→0)(-△Acrtₘ))/Δx＝0
因此上式
＝lim(Δx→0) (△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/Δx╱[lim(Δx→0) (△Ar₁+△Ar₂+…+△Arₘ)/Δx]
＝lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx╱[lim(Δx→0) [f(x₁)Δx+f(x₂)Δx+…+f(xₘ)Δx]/Δx]
＝ lim(Δx→0)[f(x₁)Δx+f(x₁+Δx)Δx+…+f(x₁+(m-1)Δx)Δx]/ lim(Δx→0)[f(x₁)Δx+f(x₁+Δx)Δx+…+f(x₁+(m-1)Δx)Δx]
因函数f(x)是连续函数，故有lim(Δx→0)f(x+mΔx)＝f(x)．因此上式等于
＝m • f(x₁)/m • f(x₁)＝1
同理我们也能证明lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)．
现在我们有公式
lim(Δx→0)(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)/(△A₁+△A₂+…+△Aₘ)＝1
和
lim(Δx→0) (△A₁+△A₂+…+△Aₘ)/(△Aᵣ₁+△Aᵣ₂+…+△Aᵣₘ)＝1
这两个公式指出：如果对连续函数f（x）设立m对曲边梯形——矩形，从而有m个△A与m个相对应的△Ar，那么当Δx→0时，所有△Ar之和与所有△A之和之比的极限等于1．这两个公式称为陶氏△A－△Ar定理．
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