一道向量压轴题的研究
大罕

浙江十校联盟高三2022年春季开学考试数学第17题，是一道关于向量的压轴题，题中给出的两个向量满足某些条件，求关于此向量的三个向量的模之和.

【题目】已知平面向量a,b夹角为π/3，且|a+b|=1，若λ,μ>0，则|λa-μb|+|(1-λ)a+b|+|a+(1-μ)b|的最小值为(

).（填空）

【评析】

此题若用代数方法解，由于向量的模是二次根式，则需求三个二次根式的和的最小值，这无疑是很棘手的，万一硬碰，必然会“头破血流”[囧] ．这样，我们“改弦易辙”，选择几何路径，用向量的几何意义来解决问题。可以说，这是被“逼上梁山”.

难点是如何理解|λa-μb|、|(1-λ)a+b|、|a+(1-μ)b|三者的几何意义。

设OA=a、OB=b，作口OACB，且∠AOB=π/3，|a+b|=|OC|=1，这就是说，向量a+b 画在一个单位圆内，如图1．

其次，向量λa、μb是什么？此乃问题的关键！

不妨设λ,μ∈(0,1)，那么向量a、b可分成两段，一段是λa、μb，另一段则是(1-λ)a、(1-μ)b. 如图2．

剩下的就简单了！根据向量的和、差及模的几何意义，直逼目标！

在射线OA、OB上分别取D、E，使得向量OD=λa，OE=μb ，则ED=λa-μb，DC=(1-λ)a+b，EC= a+(1-μ)b ，参见图3，

∴|λa-μb|+|(1-λ)a+b|+|a+(1-μ)b|=|DE|+|DC|+|EC|,

又设C点关于直线OA、OB的对称点分别为M、N，则

|DE|+|DC|+|EC|≥|MN|（两点间的直线距离是所有折线距离中的最小者），如图4.

在△MON中，|OM|=|OC|=|ON|=1，∠MON=2∠AOB=2π/3，因此|MN|=√3 .
即|λa-μb|+|(1-λ)a+b|+|a+(1-μ)b|的最小值为√3．

【评论】 一个好的数学题，应该不止一种解决方法．而本题若用纯代数法、解析法或求导法，都很不顺利．惟有数形结合法来得干净利索。所以，从这个意义上讲，本题不是一道好题．

#高中数学[超话]#

#纸上OC# 【延期发货及补偿公告】

尊敬的各位读者：
非常抱歉，因为印厂制作延误，《纸上OC》将延期到12月中旬发货。
给您带来不便真的非常抱歉！

延期补偿：
❈ 预售期间下单的所有订单赠品，将从原本的【随机3张烫金明信片】升级为【全套21张烫金明信片（p9）】。

❉《纸上OC》转为现货后，随书附赠将恢复为【随机3张烫金明信片】。
❉ 预售期间随机掉落25张签绘卡，200张签名卡，转为现货后将停止掉落。

让大家久等真的非常抱歉！
如需更改地址或有其他疑问，
请联系淘宝店客服为您跟进解决。

— OC ON PAPERS —
【21位实力插画师联合创作】
tb：森雨漫自营书店 预售中！https://t.cn/A6MwdJdD

#纸上OC# ✎ 原创 角色 手稿 合集 ✎
关注@森雨漫 10.8卷花中扌由送
1人【画集+画师签名卡】

✲ ❈ OC简介 • 第三弹 ❈ ✲
@突突土土广 @境过饭冷 @大萌神LEOlee
@小ceng小ceng @Kanmuhito @少女贰毛 @木南叽叽鸡

— OC ON PAPERS —
【21位实力插画师联合创作】
tb：森雨漫自营书店 预售中！https://t.cn/A6MwdJdD https://t.cn/A6McWfh8