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1月21日

夜：导数与函数的公切线
大寒，节气轮回。
不出意外，这将是农历庚子年的最后一夜，洗净身心，以待来年惊喜。一切终章，皆是过往，快意易尽，来日方长。
定云止水，有鸢飞鱼跃之景象；风狂雨骤，有波恬浪静之风光。
除了数学，大抵是消磨时光……
1 围观：一叶障目，抑或胸有成竹
（图1）
本题是一道十足的导数综合题，AB选项以公切线为载体考查导数的几何意义，CD选项通过构造函数考查单调性、极最值以及不等式的证明，将多选题的价值体现得淋漓尽致。
处理两函数的公切线问题：①分别设出两切点的坐标，求导得到两切线的方程；②两切线重合，于是斜率相等且截距也相等。
值得一提的是，公切线问题可转化为方程解的个数问题，由此可构造新函数，转化为新函数零点的个数问题。
2 套路：手足无措，抑或从容不迫
AB选项均是讨论函数的公切线，故可合二为一，一并进行。公切线在高考中屡见不鲜，涉及题型有：①求公切线的方程；②求切点的坐标；③求参数的值或范围；④判断切线的条数等等。
CD选项则讨论函数g（x）-f（x）的性态，在求最值时用到了隐零点代换。所谓隐零点代换（一般导数的零点不易获得），就是虚设导数的零点，利用导数方程整体代入原函数，达到化繁为简的目的。（图1）
法2，导数的几何意义是切线的斜率，则过两点直线的斜率等于切点的导数，消元后解方程即可求得切点的坐标，进而求得切线的方程。相较法1，法2步骤更简洁。（图2）
法1与法2都涉及到了解超越方程，其套路是先尝试因式分解，如果不行，则试根，这类方程的根一般都较为特殊。
3 脑洞：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
1.函数的公切线：（图4）
2.切点相同的公切线：（图5）
4 操作：形同陌路，抑或一见如故
（图6） https://t.cn/zQB2xzv

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