#sinx求导为什么是cosx#
其实，按现代数学逻辑，cosθ和sinθ之所以能对应单位圆上的横坐标和纵坐标，是首先要证明的东西，证明过程中就要用到cosθ和sinθ的导数，所以，不能反过来，搞逻辑循环。先要看sinθ的严格定义与其中θ的几何意义。设i^2=-1, 对e^(iθ)泰勒展开：e^(iθ)=1+iθ - (1/2)θ^2 - i(1/3!)θ^3+...，右边可以分为不含i的项的和，与含i的项的和。前者定义为cosθ，后者之和定义为isinθ，也就是说，【sinθ的定义就是e^(iθ)的虚部，cosθ的定义是e^(iθ)的实部】。
于是按定义就有欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ。两边对θ求导，得：ie^(iθ)=(cosθ)'+i(sinθ)'，因左边=-sinθ+icosθ，按实部等于实部，虚部等于虚部，就有(cosθ)'=-sinθ，(sinθ)'=cosθ。 于是就有了sin与cos的求导公式。又因对e^(iθ)泰勒展开可以发现cosθ是偶函数，sinθ是奇函数，所以有：e^(-iθ)=cosθ-isinθ，与欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ相乘，可得：(cosθ)^2+(sinθ)^2=1，此平方和式可以类比勾股定理，于是可以用几何对应于单位圆x^2+y^2=1，而θ对应于单位圆上的弧长，根据弧长微元的勾股定理公式可证明如图：
另外，这种定义方式很容易证明两角和的正弦与余弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.证明如下：一方面，根据欧拉公式，有：e^(i(α+β))=cos(α+β)+isin(α+β)，另一方面，e^(i(α+β))=e^(iα)·e^(iβ)=(cosα+isinhα)·(cosβ+isinβ).上述两方面的右边应相等，且实部等于实部，虚部等于虚部，即得。 最后要说，我说的这种定义方式，直接可以适用于虚数或复数的正弦、余弦，而三角形或单位圆的定义方式就无法直接适用于此。

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接下来用七种方法证明 ，当然方法肯定还有很多：
1. 教科书式证法
过程中用到了如下两个极限：对于第一个极限，用教科书式的面积法证明：
2. 教科书式证法之二
关于连续性的教科书式证明如下：
3. 匀速圆周运动法
一个做匀速圆周运动的物体：
4. 弧长公式证明法
用参数方程表示的曲线的弧长公式为：单位圆的参数方程为 ：因此角x对应的弧长为：将两端求导，并加上单位圆方程，得到：对方程（1）两端求导，得到：移项并平方
5. 反函数法
考虑单位圆的右半圆周 ，在单位圆弧长公式中，右边是一个正弦值的函数，左边的弧长可以看做弧度制下的角度，这正好与反正弦函数的定义相符.因此我们可以定义弧度制下的反正弦函数：
6. 蛮不讲理级数定义法
7. 蛮不讲理欧拉公式定义法

三角函数

初中的三角函数，限于锐角，茜姐二刷还是不熟练，本来想找一堆题再练练就行了。转头一想，干嘛不试试把高中的三角函数一起教了，从特殊到一般。下午，画了一个单位圆，解释了SIN， COS等，感觉她还可以理解。

高中的三角函数，刚开始学可能会被绕晕的。不过咱有时间，可以慢慢刷，一遍不行，三遍总能弄明白了。