2022年上海高考数学题及简评(2)
大罕

7、二项式(3+x)^n的展开式中，x^2项的系数是常数项的5倍，则n=(

).

解：C(n:2)×3^(n-2)=5×3^n，⇒n=10.

8、若(分段)函数f(x)=(a^2)x-1,x<0，或f(x)=0,x＝0，或f(x)=x+a,x>0为奇函数，则实数a=(

).

解：f(x)是奇函数，⇒ f(-1)=-f(1)⇒ -a^2-1= -(1+a) ，⇒ a= 0(舍去)，或a=1.

9、为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项、田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为(

).

解：从8项中任抽4项，有C(8:4)=70种抽法. 其中每一项都被抽到，游泳队一人必须抽到(实际上是不必管它），那么剩下三人则由球类或田径类提供，共有

C(3:1)×C(4:2)+ C(3:2)×C(4:1)=30，故所求概率是30/70=3/7.
【简评】第7、8、9题依然是简单题.

10、已知等差数列{an}的公差不为零，S(n)为其前n项和，若S(5)=0，则S(i) (i=1,2,…,100)中不同的数值有(

)个.

解1：等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由S(5)=0，⇒ a(3)=0，⇒ a(1)=-2d，不妨设d>0，此数列为：-2d,-d,0,d,2d,3d,4d,…,

∴S(1)=-2d，S(2)=-3d，S(3)=-3d，S(4)=-2d，S(5)=0，S(6)=3d，S(7)=7d，…，

可见当n≥3时，S(n) ↗，仅有S(1)=S(4)=-2d，S(2)=S(3)=-3d，重复两次，所以S(1),S(2), …,S(100)中有98个不同的数值.

解2：由S(5)=0，知a(1)=-2d，设项数为x，d>0，则

S(x)=-2dx+x(x-1)d/2=(d/2)(x^2-5x)，

函数y(x)=x^2-5x= (x-5/2)^2-25/4，图像对称轴是x=5/2，如图3，有y(1)=y(4)，y(2)=y(3)，故当1≤x≤100，且x为整数时，y值有两次重复，故S有98个不同数值.

【简评】第10题已上升为中档题. 此题容易陷入“硬算”境地，可能出不来．实际上，用估算法，列举前若干项的数值，就能发现规律．这就是解法1．万一出现上述尴尬，若想到S是二次函数，通过其图像，便能“逃生”．这就是解法2．

（系列文章，未完待续）

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