#井汲大翔[超话]#[悲伤]自印的手幅终于拿到了超超超好看，老师们真的是太会作图了(//∇//)前面两张是满天星的，后面两张是珠光的（用闪光灯可以拍出珠光的感觉，我根本拍不出来[抓狂]）
p1p2p7p8@陈哈哈193
P5P6 小泉老师
p3p4 忘记是哪个姐妹给的了[允悲]
技术有限拍不出它的美，真的超好看的手幅\(//∇//)\ 再次膜拜老师们的作图技术

忘记是哪的设计了，有点意思。
最近特么，除了没事网上看骂架然后自己叨叨，就是作图作图作图……但基本上去年想做的事情，今年年底前应该都可以做个七七八八吧。
那等我忙完了，我要去做一个drama的晚礼服，长拖地那种。
虽然根本不指望今年有时间穿，但做的过程就开心。如果是和师傅一起手工做，就非常像在完成一个展览作品，很有成就感的开心。

从正多边形的作图到费尔马素数
大罕
 

你会用尺规作出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十边形吗？

正方形的两条对角线，把正方形分为四个全等的等腰直角三角形．只要在圆内作两条互相垂直的直径，顺次连接两条直径的四个端点，就能得到一个正方形．

正六边形的边长等于外接圆半径．只要在圆周上用半径的长截取六个等分点，就能得到圆内接正六边形．连接圆的六等分点中隔着一个点的三个点就能得到正三角形．

正五边形可以通过正十边形的作图可以得到．

设正十边形A1A2…A10的外接圆为圆O，半径为1，则∠A1OA2=36°，

则A1A2=2 sin18°，

计算sin18°的值：

∵cos54°=sin36°，

∴4(cos18°)^3-3cos18°=2sin18°cos18°,

⇒4(cos18°)^2-3=2sin18°,

⇒4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,

解得sin18°＝(√5-1)/4，

因此，正十边形的边长为A1A2=2sin18°＝(√5-1)/2.

据此，可以这样求作完成正十边形的边长：

第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 A1A6，如图2；

第二步，取半径OM的中点K；

第三步，以OM为直径作圆K，连接A1K交圆K于点H，则A1H即为正十边形的边长.

其证明相当简单：

在Rt△A1OK中，A1K=√[1+(1/2)^2]=√5/2，

∴A1H= A1K-KH=(√5-1)/2，

连接圆的十等分点中隔着一个点的五个点就能得到正五边形．

不过，人们更喜欢直接用尺规作图得到正五边形。作法如下：

第一步，在半径为1的圆O中，作互相垂直的直径MN和 AP；

第二步，取半径ON的中点K；

第三步，以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长；

第四步，以AH为弦长，在圆周上截得B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形ABCDE，如图3．

下面我们予以证明。回顾作图过程，有

在Rt△AOK中，AK=√[1+(1/2)^2]=√5/2，

∴OH=(√5-1)/2，

在Rt△AOH中，

AH^2=1+[(√5-1)/2]^2=(10-2√5)/4，

∴AH=[√(10-2√5)]/2.

下面我们推算半径为1的圆内接正五边形的边长．

如图4，正五边形ABCDE内接于圆O，延长BO交DE于点Q，

在Rt△BQE中，BQ＝1+cos36°，QE＝sin36°，BE＝2sin72°，

∴(1+cos36°)^2+(sin36°)^2=(2sin72°)^2，
化简，得

1+cos36°＝2(sin72°)^2，

⇒1+cos36°＝8[1-(cos36°)^2](cos36°)^2，

令x=cos36°，就有

1+x=8x^2(1+x)(1-x)，⇒8x^3-8x^2+1=0，
⇒(2x-1)(4x^2-2x-1)=0，⇒x=cos36°=(√5+1)/4，
⇒sin36°=[√(10-2√5)]/4，

∴圆内接正五边形ABCDE的边长DE=2sin36°
=[√(10-2√5)]/2．

用尺规作正n边形，是欧氏几何的一个重要内容，历史上曾占有重要的地位．与此相关的数学问题，例如费尔马素数问题，至今仍然没有解决．

说到费尔马素数，必然把它与两位著名数学家——费尔马和高斯联系起来．

欧几里得在《几何原本》里，除了介绍正三角形、正方形、正五边形和正六边形的作法外，还介绍了正十五边形的作法．

由于圆内接正三角形和正五边形可以作图，而2/5-1/3=1/15，只要把圆三等分于A,B,C，再将圆五等分于A,P,Q,R,S，就可以可出正十五边形来．

进一步，通过连续平分角或弧，就可以作出3×2^k、4×2^k、5×2^k、15×2^k(k=0,1,2,…)个边的正多边形．二千多年以来，一直没有人能用直尺和圆规作出新的正多边形来．(未完待续) https://t.cn/R2V0eeO