【获新一轮 2 亿元融资，「有车以后」将在社交电商、内容升级等方面持续加大投入】有车以后逐渐成长为集媒体、社交、电商等多种属性为一体的汽车行业平台企业。汽车垂直类新媒体平台「有车以后」已完成第六轮融资，本轮由腾讯、梅花创投旗下成长基金、新梅资产、东方富海、蓝图创投共五家机构出资，金额为 2 亿元人民币，公司估值为 20 亿元人民币有车以后成立于 2014 年，此前曾获梅花创投、真成投资、蓝色光标、海纳亚洲SIG、创金资本、史努克基金、蓝拓资本、真格基金共 13 家机构的融资。有车以后是微信小程序早期入驻者，徐晨华认为，“小程序的效率是目前移动互联网效率最高的一种技术形式之一，其中包括开发的效率、用户触及的效率以及传播效率。”
#∞·分享# 漫谈高数——泰勒级数的物理意义
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
王琪森: 从汉字形态说到书法美学
“人不仅在意识中以理智的方式，而且也以实际工作活动的方式，表现了他自己，从而在自己所创造的那个世界中观察他自己”。马克思在《经济学——哲学手稿》中所说的这段话，深深地启迪我们在自己所创造的书法文字形态中观察其美的内在本质与外观形式。
书法美的内在本质——
1.书法美的物化形态
线条是文字的媒介或元素、是进行书法艺术创作的特定的物化形态。由此可见，线条是书法美的起源。
我国著名美学家宗白华在《中国书法里的美学思想》一文中说：“罗丹说的这根通贯宇宙、遍及于万物的线，中国的先民极早就在书法里、在殷虚甲骨文、在商周钟鼎文、在汉隶八分及晋唐的真行草书里，做出极丰盛的，创造性的反映了”。
由隶书开始而后发展形成的楷书、行书、草书（包括章草），更是使物化形态的线条趋向表现书法美的极致。作为书法美的物化形态的线条，在甲骨文、金文、石鼓、小篆时期，是属于繁化的线条，程度不同地受着“依类象形”的限制。而到了隶、楷、行、草时期，则是属于净化的线条，不再受到限制，充分发挥线条自身的转折起伏。笔情自身的酣畅遒劲，墨色自身的枯湿浓淡，折射出的情感气势、审美意识，构成了丰富深邃的美学境界。
2.书法美的内容特征
书法艺术内容的特征，往往取决于所反映的对象的特殊性（文字形态）和把握方式的特殊性（笔墨线条）的统一，因此，书法文字的内容对其所具有的书法美学价值不是决定性的，关键是笔墨线条所反映的艺术水平的高低、雅俗。
甲骨文、金文、小篆，对于今天的大多数人来说是看不懂的（不识），但甲骨文的坚劲峻丽，金文的古朴雄逸、小篆的典雅秀美，依然为当代人的审美所接受。又如张旭的狂草《古诗四帖》、《肚痛帖》、怀素的狂草《自叙帖》、《苦笋帖》等，他们那潇洒不羁、跌宕豪放，“挥毫落纸如云烟”的笔墨线条之美，深为人们欣赏并赞叹不已。
作为书法美的内容特征是文字线条本身，但书法家在书写时倾注了自己的思想感情与审美意识，通过线条来“达其性情，形其哀乐”，“诉诸内心生活”。孙过庭分析王羲之诉诸于线条中的不同情感元素，说他“写《乐毅》则情多怫郁，书《画赞》则意涉瑰奇，《黄庭经》则怡怿虚无，《太师箴》又纵横争折暨乎兰亭兴集，思逸神超”。
3.书法美的双重特性
作为书法艺术物化形态的线条是“有诸于中而形诸外，得于心而应于手”，是书法家主观世界的表现，而不是客观世界的再现。汉代蔡邕在《笔论》中说“纵横有可象者，方得谓之书矣。”这就构成了书法美的双重特性，表现性中带有相对的再现性。
唐代张怀瓘在《书议》中提到：“囊括万殊，裁成一相”。书法家们运用手中的笔把“万殊”提炼、简化、浓缩成了“一相”，净化为线条本身的效应。所以，不管是书法艺术的笔墨线条，还是结构章法，是以主观的形式概括象征客观世界某个对象，是“意象”，而不是“具象”。书法美中的表现性越丰富、越生动，其再现性就越丰满、越多样。
4.书法美的本质属性
书法艺术的物化形态是线条，而线条是构成文字符号的材料，线条与文字的特征规定了书法美的本质属性：是抽象线条的艺术组合。
书法美的抽象本质属性较鲜明地表现在外在与内在两个方面。书法线条在表现外在的具体事物时，是提炼、集中、概括，是对原物形象高度的抽象。在表现内在的思想感情时，也是诉诸、变汇、通融，是对思想感情内在的抽象。书法线条在逻辑发展过程中摆脱了外在与内在的束缚，从而获得了相对的自由，从一元化（依类象形）走向多元化（异类而求），书法线条的抽象性也就获得了更大的丰富性、普遍性与概括性。
书法美的外观形式——
艺术作品的形式就是内容的存在方式。书法美的外观形式的构成因素与表现形态，就是运笔点画线条与结构章法的有规律的组合。
1.运笔点画的形态
书法以用笔为上。书法是靠运笔点画所产生的线条来组合结构、章法，书法家正是通过运笔点画来赋予线条各种美的形态：方圆粗细、曲直动静等。
由于书法运笔的方法不同，可以使点画线条呈现出方笔、圆笔之分。方笔以“折”为使转，在书写每个字的点画线条时行笔断而复起，其收锋为“外拓”法。圆笔以“转”为使转，行笔换而不断，其收锋为“内擫”法。方笔用法如魏碑中的《张猛龙》，圆笔用法则如魏碑中的《郑文公》。而方圆并用的运笔方法，就会产生刚劲中寓灵秀，婉约中含峻奇的形式美感。
线条曲直动静的形态美是更强烈而多变的。曲与直、动与静在书法作品中互为关照，互相映衬。从随体结诎的篆书、波磔多姿的隶书、点画多变的楷书、行云流水的行书、龙飞凤舞的草书，其曲直动静的发展越来越强烈，书法美的线条形式遵遁着这样一个轨迹。草书线条的曲直动静之美可谓是集书法形式美的大成，是极精致的。刘熙载《艺概》中指出：“书家无篆圣、隶圣、而有草圣。盖草之道千变万化，执持寻逐，失之愈远”。狂素（怀素）颠张（张旭）的草书线条形态“矫若游龙，疾若惊蛇”，其曲直回旋、动静奇逸，的确是千态万姿，不可端倪的。
2.运笔点画的节奏
书法线条在纸上运动的形式不是平拖直划一抹而就，而是富有节奏韵律变化的轻重徐疾、抑扬顿挫的运动，在笔情墨韵中激荡着情感的旋律，形式美中渗透进了强烈的音乐节奏性。唐代张怀瓘在《书议》中把书称之为“无声之音”。虞世南在《笔髓论》中也认为书法有似于音乐演奏，“鼓瑟纶音，妙响随意而生。”
3.运笔点画的墨色
运笔点画的墨色是构成形式美的重要因素，也是书法所特有的艺术功能。我国历来有“墨分五色”说，墨是一色而何来五色？这就需要在运笔用墨中不断地变化，使墨色枯湿浓淡、燥润妍险各呈其态而自然替换，浓纤间出、风神洒落，可见墨色之美是丰富而多彩的。
墨色的枯湿浓淡、燥润妍险从宏观上来讲贯穿于整个书法创作过程中，每一件书法作品对此都有不同程度的体现。而且枯与淡、湿与浓、燥与险、润与妍是相辅相成、相映成趣的，表现了相应的神彩、形质、气势与力感。宋四大家之一的米芾是使用墨色的高手，他具有精湛的运笔水平，使笔能翻转起伏、跌宕跳跃，因而墨色变化多端，《多景楼帖》就充分体现了他的这种“带燥方润，将浓遂枯”的墨色特点。
4.结构的疏密虚实与俯仰顾盼
书法艺术的结构，是指每个字点画线条之间的搭配组合，“积画成字”。书法美的结构形式是多变的，但不外乎疏密虚实与俯仰顾盼。
无论何种书体都有笔画繁简之分，偏旁部首的大小之别，就要进行疏密虚实的处理，使密处见疏，实处见疏，以此来互为约束，彼此协调。行草虚实疏密则表现得更为明显，并以牵丝连笔来挪让相接。
如果说疏密虚实主要是为了结构协调相融，那么俯仰顾盼则是为了结构承接相应。单结构的字也不例外，米芾留下的大量行草墨迹中，字的结构大都是高低俯仰，左右顾盼，长短错综的状态。《蜀素帖》中“青松劲挺姿凌霄”等字，其结构的攲正相依、俯仰造势，都是形态多变而气势洒脱。
宗白华曾在分析中国画中的空间意识时指出：“它是基于中国的特有艺术书法的空间表现力。”书法结构形式中的点画线条，边旁部首都是在占据一定的空间位置后，然后进行或疏密虚实、或俯仰顾盼、或险绝奇拙的艺术组合的，成为一个个“上下相望、左右相近。四隅相招，大小相和时长短阔狭，临时变适”、“八方点画环拱中心”的“空间单位”。因此，“书法中所谓气势，所谓结构，所谓力透纸背，都是表现这书法的空间意境。一件表现生动的艺术品，必然地同时表现空间感”。
5.章法的行气布白与呼应离合
章法是书法形式美的宏观现象，给人直观的整体美感。“古人论书，以章法为一大条”。书法的积字以成篇必须经过章法的艺术处理才能产生行气布白与呼应离合的效果，行气即字与字之间的呼应连贯，布白即字与行、行与行之间的离合聚让。
章法形式美的样式是多种的，既有“纵横无列无行”、也有“纵有行、横无列”、“纵有行、横有列”。但无论哪一种样式都是以行气布白、呼应离合、气脉相通作为组合原则与内在规律的。
行书、草书的章法，则疏密有致、参差跌宕，纯任自然，最大地发挥了章法形式美的功能。如王羲之写的《中秋帖》，行气布白风神洒落，“中秋”二字左右攲侧，映带而连。
（来源：人民网，本文节选自《从汉字形态说到书法美学》，有删减）
“人不仅在意识中以理智的方式，而且也以实际工作活动的方式，表现了他自己，从而在自己所创造的那个世界中观察他自己”。马克思在《经济学——哲学手稿》中所说的这段话，深深地启迪我们在自己所创造的书法文字形态中观察其美的内在本质与外观形式。
书法美的内在本质——
1.书法美的物化形态
线条是文字的媒介或元素、是进行书法艺术创作的特定的物化形态。由此可见，线条是书法美的起源。
我国著名美学家宗白华在《中国书法里的美学思想》一文中说：“罗丹说的这根通贯宇宙、遍及于万物的线，中国的先民极早就在书法里、在殷虚甲骨文、在商周钟鼎文、在汉隶八分及晋唐的真行草书里，做出极丰盛的，创造性的反映了”。
由隶书开始而后发展形成的楷书、行书、草书（包括章草），更是使物化形态的线条趋向表现书法美的极致。作为书法美的物化形态的线条，在甲骨文、金文、石鼓、小篆时期，是属于繁化的线条，程度不同地受着“依类象形”的限制。而到了隶、楷、行、草时期，则是属于净化的线条，不再受到限制，充分发挥线条自身的转折起伏。笔情自身的酣畅遒劲，墨色自身的枯湿浓淡，折射出的情感气势、审美意识，构成了丰富深邃的美学境界。
2.书法美的内容特征
书法艺术内容的特征，往往取决于所反映的对象的特殊性（文字形态）和把握方式的特殊性（笔墨线条）的统一，因此，书法文字的内容对其所具有的书法美学价值不是决定性的，关键是笔墨线条所反映的艺术水平的高低、雅俗。
甲骨文、金文、小篆，对于今天的大多数人来说是看不懂的（不识），但甲骨文的坚劲峻丽，金文的古朴雄逸、小篆的典雅秀美，依然为当代人的审美所接受。又如张旭的狂草《古诗四帖》、《肚痛帖》、怀素的狂草《自叙帖》、《苦笋帖》等，他们那潇洒不羁、跌宕豪放，“挥毫落纸如云烟”的笔墨线条之美，深为人们欣赏并赞叹不已。
作为书法美的内容特征是文字线条本身，但书法家在书写时倾注了自己的思想感情与审美意识，通过线条来“达其性情，形其哀乐”，“诉诸内心生活”。孙过庭分析王羲之诉诸于线条中的不同情感元素，说他“写《乐毅》则情多怫郁，书《画赞》则意涉瑰奇，《黄庭经》则怡怿虚无，《太师箴》又纵横争折暨乎兰亭兴集，思逸神超”。
3.书法美的双重特性
作为书法艺术物化形态的线条是“有诸于中而形诸外，得于心而应于手”，是书法家主观世界的表现，而不是客观世界的再现。汉代蔡邕在《笔论》中说“纵横有可象者，方得谓之书矣。”这就构成了书法美的双重特性，表现性中带有相对的再现性。
唐代张怀瓘在《书议》中提到：“囊括万殊，裁成一相”。书法家们运用手中的笔把“万殊”提炼、简化、浓缩成了“一相”，净化为线条本身的效应。所以，不管是书法艺术的笔墨线条，还是结构章法，是以主观的形式概括象征客观世界某个对象，是“意象”，而不是“具象”。书法美中的表现性越丰富、越生动，其再现性就越丰满、越多样。
4.书法美的本质属性
书法艺术的物化形态是线条，而线条是构成文字符号的材料，线条与文字的特征规定了书法美的本质属性：是抽象线条的艺术组合。
书法美的抽象本质属性较鲜明地表现在外在与内在两个方面。书法线条在表现外在的具体事物时，是提炼、集中、概括，是对原物形象高度的抽象。在表现内在的思想感情时，也是诉诸、变汇、通融，是对思想感情内在的抽象。书法线条在逻辑发展过程中摆脱了外在与内在的束缚，从而获得了相对的自由，从一元化（依类象形）走向多元化（异类而求），书法线条的抽象性也就获得了更大的丰富性、普遍性与概括性。
书法美的外观形式——
艺术作品的形式就是内容的存在方式。书法美的外观形式的构成因素与表现形态，就是运笔点画线条与结构章法的有规律的组合。
1.运笔点画的形态
书法以用笔为上。书法是靠运笔点画所产生的线条来组合结构、章法，书法家正是通过运笔点画来赋予线条各种美的形态：方圆粗细、曲直动静等。
由于书法运笔的方法不同，可以使点画线条呈现出方笔、圆笔之分。方笔以“折”为使转，在书写每个字的点画线条时行笔断而复起，其收锋为“外拓”法。圆笔以“转”为使转，行笔换而不断，其收锋为“内擫”法。方笔用法如魏碑中的《张猛龙》，圆笔用法则如魏碑中的《郑文公》。而方圆并用的运笔方法，就会产生刚劲中寓灵秀，婉约中含峻奇的形式美感。
线条曲直动静的形态美是更强烈而多变的。曲与直、动与静在书法作品中互为关照，互相映衬。从随体结诎的篆书、波磔多姿的隶书、点画多变的楷书、行云流水的行书、龙飞凤舞的草书，其曲直动静的发展越来越强烈，书法美的线条形式遵遁着这样一个轨迹。草书线条的曲直动静之美可谓是集书法形式美的大成，是极精致的。刘熙载《艺概》中指出：“书家无篆圣、隶圣、而有草圣。盖草之道千变万化，执持寻逐，失之愈远”。狂素（怀素）颠张（张旭）的草书线条形态“矫若游龙，疾若惊蛇”，其曲直回旋、动静奇逸，的确是千态万姿，不可端倪的。
2.运笔点画的节奏
书法线条在纸上运动的形式不是平拖直划一抹而就，而是富有节奏韵律变化的轻重徐疾、抑扬顿挫的运动，在笔情墨韵中激荡着情感的旋律，形式美中渗透进了强烈的音乐节奏性。唐代张怀瓘在《书议》中把书称之为“无声之音”。虞世南在《笔髓论》中也认为书法有似于音乐演奏，“鼓瑟纶音，妙响随意而生。”
3.运笔点画的墨色
运笔点画的墨色是构成形式美的重要因素，也是书法所特有的艺术功能。我国历来有“墨分五色”说，墨是一色而何来五色？这就需要在运笔用墨中不断地变化，使墨色枯湿浓淡、燥润妍险各呈其态而自然替换，浓纤间出、风神洒落，可见墨色之美是丰富而多彩的。
墨色的枯湿浓淡、燥润妍险从宏观上来讲贯穿于整个书法创作过程中，每一件书法作品对此都有不同程度的体现。而且枯与淡、湿与浓、燥与险、润与妍是相辅相成、相映成趣的，表现了相应的神彩、形质、气势与力感。宋四大家之一的米芾是使用墨色的高手，他具有精湛的运笔水平，使笔能翻转起伏、跌宕跳跃，因而墨色变化多端，《多景楼帖》就充分体现了他的这种“带燥方润，将浓遂枯”的墨色特点。
4.结构的疏密虚实与俯仰顾盼
书法艺术的结构，是指每个字点画线条之间的搭配组合，“积画成字”。书法美的结构形式是多变的，但不外乎疏密虚实与俯仰顾盼。
无论何种书体都有笔画繁简之分，偏旁部首的大小之别，就要进行疏密虚实的处理，使密处见疏，实处见疏，以此来互为约束，彼此协调。行草虚实疏密则表现得更为明显，并以牵丝连笔来挪让相接。
如果说疏密虚实主要是为了结构协调相融，那么俯仰顾盼则是为了结构承接相应。单结构的字也不例外，米芾留下的大量行草墨迹中，字的结构大都是高低俯仰，左右顾盼，长短错综的状态。《蜀素帖》中“青松劲挺姿凌霄”等字，其结构的攲正相依、俯仰造势，都是形态多变而气势洒脱。
宗白华曾在分析中国画中的空间意识时指出：“它是基于中国的特有艺术书法的空间表现力。”书法结构形式中的点画线条，边旁部首都是在占据一定的空间位置后，然后进行或疏密虚实、或俯仰顾盼、或险绝奇拙的艺术组合的，成为一个个“上下相望、左右相近。四隅相招，大小相和时长短阔狭，临时变适”、“八方点画环拱中心”的“空间单位”。因此，“书法中所谓气势，所谓结构，所谓力透纸背，都是表现这书法的空间意境。一件表现生动的艺术品，必然地同时表现空间感”。
5.章法的行气布白与呼应离合
章法是书法形式美的宏观现象，给人直观的整体美感。“古人论书，以章法为一大条”。书法的积字以成篇必须经过章法的艺术处理才能产生行气布白与呼应离合的效果，行气即字与字之间的呼应连贯，布白即字与行、行与行之间的离合聚让。
章法形式美的样式是多种的，既有“纵横无列无行”、也有“纵有行、横无列”、“纵有行、横有列”。但无论哪一种样式都是以行气布白、呼应离合、气脉相通作为组合原则与内在规律的。
行书、草书的章法，则疏密有致、参差跌宕，纯任自然，最大地发挥了章法形式美的功能。如王羲之写的《中秋帖》，行气布白风神洒落，“中秋”二字左右攲侧，映带而连。
（来源：人民网，本文节选自《从汉字形态说到书法美学》，有删减）
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