国际奥数包揽金牌:中国人的数学,为何这么厉害?
《史记·留侯列传》中,记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景,当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时,张良答道:“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹,为刘邦一一数出利弊,这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算,衍生出经略谋划之意,“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时,也被译为“运筹学”。
在我国古代,数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍,是先人使用数千年的“计算器”,其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法,影响不可谓不深远。尽管随着时间推移,算筹在元代以后逐渐淡出,但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹:演天地之数
算筹又名算子、筹策,它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载:“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式,其他古文明中亦有应用。在此基础上,先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”(Quipu),是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方,不同形状的绳结可以代表不同数字,也可以用来计算总数,不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载:“黄帝使羲和占日,常仪占月,臾区占星气,伶伦造律吕,大桡作甲子,隶首作算数,容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物,但也可一窥“算数”历史之悠久,并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听,□财而无枝”之语,有研究者认为,“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之,“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器,叫做“中”,《周礼》中记载“凡射事,饰中,舍算”,后世有注“中,所以盛算也”,它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期,算筹的使用已经相当普遍,《论语》中有“斗筲之人,何足算也”,《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年,在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹,是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中,明确了它的制作规范:“其算,法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”换算成今天常用的单位,就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒,一套共271根,叫做“一握”,可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制,亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形,也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中,用“每自执牙筹,昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕:“盗夜发咸阳原上古墓,有火光出,用剑击之,铿然以坠,视之,白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪?既击碎之,有中官取以作算筹。”古人用帘,需能随意舒卷,因此白玉帘可能不是整片的白玉,而是由多条磨细的玉棒连缀而成,正适合做算筹。
古人为了携带方便,通常将算筹放在一个布袋里,挂在腰带上,这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定,“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子,被古人认为“秦皇东游,弃算袋于海,化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃(Virgularia sp.),因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形,很像一根算筹,古人称之为“越王余算”,并创造了相关传说:“昔晋安越王渡南海,将黑角白骨作算筹,其有馀者,弃于水中而生此,故叶白者似骨,黑者似角。
纵横布筹,算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算?或许有人会联想起一个经典的笑话:老师教学生写字,讲“‘一’字画一横,‘二’字画两横,‘三’字画三横”,学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信,他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹,要怎么表达数字呢?难道也像这个故事里的学生那样,表达数字“一”摆一根,数字“十”摆十根,数字“万”摆一万根吗?其实,古代的算筹记数依据是“位值制”记数法,即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身,而取决于它在记数中所处的位置,这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上,即每满十数进位,相比于二十进制、六十进制,这种进位制的应用最广泛,我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期,我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到:“一少于二,而多于五,说在建。”意思是,如果一和二都位于个位,一比二小;但如果一位于十位及以上,它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载,晋国绛县老人自称“臣生之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣,其季于今,三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日,最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁,师旷说:“73年。”史赵则给出了一个字谜:“亥有二首六身,下二如身,是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横,下面是三个“人”字,形同“六”字,如果把上面的“二”移到下方,就成了“二六六六零”,将天数折合为年就是73年。(如果是2666天,和现实不符)
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”
“一纵十横,百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法,个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放,避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹,如果要用算筹表达从6到9的数字,则不需要摆和数字一样多的根数,而是先摆一根代表5,再在和它垂直交叉的方向放上1到4根,就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符,用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上,五在上方,六不积算,五不单张”。
算筹摆位的时候,高位在左,低位在右,和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”,并不需要摆71824根,只需要在个位摆4根,十位摆2根,百位摆8根,千位摆1根,万位摆7根就可以。因此,现代认为,“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合,表示任何十进位数字的系统”。
与之相比,其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如,以古埃及的数字形式表达“3244”,需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字,并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数,在书写数字时,将对应的字母写在一起,如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大,则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2,中下为2/3,底部为1/12;中栏中间表达数字为60,右栏顶部为1/30,中间为1/40。
用算筹做加法、减法,是按照从左到右的顺序,从高位到低位逐位相加、相减,随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹,也可以直接在被加或被减的数字上操作,把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似,以乘法为例,古人的做法是“上下相乘,实居中央”,先把乘数和被乘数按上下位置摆好,按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位,把乘得的积摆在上下两数中间,然后去掉上面的数的第一位,把下面的数往右移动一位;再用上面数的第二位乘下面数的每一位,把结果和中间的乘积相加……这样以此类推,直到计算完成。做除法是将被除数放中排,除数放下排,商数放上排,余数放在最下一排,刘徽《九章算术注》中定义,在上的筹称“实”,在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算,可以将算筹涂上不同的颜色,宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数;如果使用同色算筹,就在数字最后一位斜放一根,以示区分。做小数计算的话,要将小数部分和整数部分区分开,南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称,比如要计算天数,就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时,和现代的分数表达形式一样上下摆放,《孙子算经》称在上的筹为“子”,在下的筹为“母”,这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来,甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算,《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴,“大乘除皆不下照位,运筹如飞,人眼不能逐。人有故移其一算者,朴自上至下手循一遍,至移算处,则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点,即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算,算筹还可以用来做开方、开立方,解高次方程、四元方程等,自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就,都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石,它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。


一、忙是人生的滋养剂

一个人如果怕做事,偷懒,如何会有成就?人之会起烦恼心、不安,都是因为不懂得用功、时间太多所致,所以忙是人生的滋养剂。

忙,是多数人的生活形态,只是每个人所忙的事情不一样。有的人为国家忙,有的人为社会忙,有的为家庭忙,有的人为自己忙。忙,是整个人类所不能少的生活。人要不忙,除非他让金钱去替自己忙;再要不忙,两手一摊,双脚一伸,跟死神打交道,就不会忙了。

“忙”,也有不同的层次:

1、气定神闲的忙。

同样是忙,有的人忙得一团纷乱,忙得很辛苦;有智慧的人,按部就班,忙得气定神闲。所谓“人忙心不忙”,有的人懂得交办,有的人懂得授权,有的人懂得分工,有的人懂得指挥。很多复杂的事物,经过能干的人化繁就简、提纲挈领,虽然事情多,但一点也不觉得忙。因此,懂得忙中偷闲的人,就是再忙也有安闲的时刻,不至于忙得讨厌生活、讨厌忙,他反而喜爱忙,从忙的当中只觉得人生很充实。这样的忙,人生会活得很有意义。

2、心浮气躁的忙。

有的人不会忙,做事没有条理,不分轻重,不分先后,乱忙一气,忙得自己心浮气躁。我们看苍蝇、蚊子投窗想要寻找出路,它猛撞玻璃,不知道旁边有空隙可以钻出。我们再看成群的蚂蚁忙着奔来跑去,但它们有分工、有讯号、有指挥,忙得有条理。有的人跟瞎撞的蚊蝇一样,口口声声说忙,只是乱忙。人要懂得分轻重缓急去做事,举重若轻,才不至于忙得心浮气躁。

3、开开心心的忙。

忙是生活的意义,忙是生命的动力,忙的人生是骄傲的人生。你看,工商大亨哪个不忙?官员领导们有谁说他不忙?忙带来生活的充实,带来生命的意义,带来事业的成就,带来财富的增加。人要忙,而且要忙得欢喜,忙得快乐。假如一个人不肯忙,表示他的生命已经没有光彩了。忙是有用,不忙就没有用;没有用的人生,谁会在乎他的存在呢?所以,人要开开心心地忙,为充实生活而忙。

4、不甘不愿的忙。

有的人忙得心不甘情不愿,那是最苦的人生。忙得不甘愿的人,必然是他没有从忙中得到快乐,没有体会到身心寄托的地方就是忙——不忙做什么呢?当然,有人会说:“为谁作嫁为谁忙?”因为他不懂人生为什么要忙,当然不甘愿帮人家的忙。其实世间没有白吃的午餐,也没有白干的活,你帮人家的忙就是帮自己的忙。不愿意忙的人应转化观念:一切为人忙的事,对自己都有益,例如可以升官,可以升级,可以得奖,甚至可以放慰劳假。假如你能想到一切的忙与自己的未来都有关系有帮助,懂得忙就是营养、忙就是力量、忙就是成就,你可能反而会问:“人生为什么不要忙呢?”

二、贫富贵贱

我们活在人间,必须有一些资粮。世间有所谓“开门七件事,柴米油盐酱醋茶”,意思是日常生活要有起码的条件。可惜人们错把追求物质当作了人生的目的,发展出计较与比较之后的贫富差别,比如“贫居闹市无人问,富在深山有远亲”、“富家一席酒,穷汉半年粮”、“宁吃少年苦,不受老来贫”、“有钱能使鬼推磨,无钱难倒英雄汉”,这些都是来自民间深刻的感叹。贫与富自有其因果来由,以下四点说明:

1、富足来自知足。

知足第一富,如颜回“一箪食,一瓢饮,在陋巷,人不堪其忧,回也不改其乐”。这正是安贫乐道的典范。一个人拥有再多,如果内心不知满足,那种精神上的贫穷更加可怜!所以,人的富足并不是看在金钱数字上的多少,而是看一个人知足与否。

2、尊贵来自谦卑。

老子曰:“上善若水,水善利万物而不争。”由于水性谦下,总是往低处流,所以世间万物都受到流水默默的哺育。世界屋脊喜马拉雅山冰川所蕴育的恒河、印度河、雅鲁藏布江、怒江、长江、黄河、湄公河等七大河流,供给了印、中、尼、泰等数十亿人民的水源。山顶上冰雪的高贵,恰是来自谦下的流水。有德的君子,他的尊贵,正是他的谦下利民而不自以为崇高。

3、贫穷来自吝啬。

什么是真正的穷人?欲望无穷是一种心的贫穷。人的心田不是用来生长欲望的,而是用来生长菩提慧命以圆满人生。其实,任何人出生,这宇宙间的财富都有他的一份,所谓“一枝草,一点露”。而要取得财富,必须先把手掌放开。如果你始终紧握着手里的旧物,又如何能取得新的资源呢?想要圆满人生,首先要有“同体共生”的认识,能“喜舍”才是真正的富有。

4、卑贱来自傲慢。

傲慢就是自大,就是以己之长辱他之短。佛经云:“若骄慢生,则长养一切杂染之法。心不谦下,由此则生死轮转,受无穷苦。”凡夫不知宿命,故常骄慢,因为骄慢,所以不畏造恶受果报、不愿悔过,也不精进于修行万善。

所以,人之富是知满足,人之贵是能谦下,人之贫是不知舍,人之卑贱是因为骄慢自大。

三、夫妻之道有三等

感情的交流,以公理正义为原则;语言的沟通,以体谅包容为雅量;人我的相处,以不违情理为自然;金钱的运用,以量入量出为正常。

夫妻之间应该怎样相处?夫妇之道有三等,你是哪一个等的呢?有以下六点参考:

上等的丈夫会想到太太忙于工作,还要忙于家务,必定辛苦,下班回到家里,他会体恤太太的辛劳,协助太太操持家事。

中等的丈夫,不会帮忙做家事,回到家里,虽然喝茶看报纸,但至少嘴巴还会赞美太太,感谢太太的付出。如此,太太再怎么辛苦,也能甘之如饴。

下等的丈夫,回到家里,就是一副自己最辛苦、自以为对家庭付出最多的姿态。要么嫌太太菜煮得不好,要么嫌太太不会打扮,看不顺眼,东嫌西嫌,气势凌人。

上等的太太,治家整洁,贤惠有礼。俗语说:“家有良妻,如国有良相。”一位贤良妻子能开源节流,将家打理得妥当,维护环境整洁,态度温敬柔软,周到体贴,行仪慈孝和顺,让先生无后顾之忧。

中等的太太,慰问、赞美丈夫的辛劳。莎士比亚说:“一个好妻子,除了处理家务外,还兼有慈母、良伴、恋人三种身份。”所以,治家能力差一点的太太,至少要能多说好话,要常常慰问、赞美丈夫的辛劳与付出。

下等的太太,不但不善于治家,丈夫辛苦一天回到家时她还会喋喋不休,要么嫌弃他的职业赚钱太少,要么埋怨住得不好、穿得不暖,如此只会让丈夫觉得家如监狱。

很多失败的婚姻都是因为不能谅解对方的辛劳,不能体会对方的付出。所以,夫妇之道从互相欣赏、互相体谅开始,遇到困难险阻时能互助斩荆、共离困境,婚姻才能美满。
#情感##
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一、忙是人生的滋养剂

一个人如果怕做事,偷懒,如何会有成就?人之会起烦恼心、不安,都是因为不懂得用功、时间太多所致,所以忙是人生的滋养剂。

忙,是多数人的生活形态,只是每个人所忙的事情不一样。有的人为国家忙,有的人为社会忙,有的为家庭忙,有的人为自己忙。忙,是整个人类所不能少的生活。人要不忙,除非他让金钱去替自己忙;再要不忙,两手一摊,双脚一伸,跟死神打交道,就不会忙了。

“忙”,也有不同的层次:

1、气定神闲的忙。

同样是忙,有的人忙得一团纷乱,忙得很辛苦;有智慧的人,按部就班,忙得气定神闲。所谓“人忙心不忙”,有的人懂得交办,有的人懂得授权,有的人懂得分工,有的人懂得指挥。很多复杂的事物,经过能干的人化繁就简、提纲挈领,虽然事情多,但一点也不觉得忙。因此,懂得忙中偷闲的人,就是再忙也有安闲的时刻,不至于忙得讨厌生活、讨厌忙,他反而喜爱忙,从忙的当中只觉得人生很充实。这样的忙,人生会活得很有意义。

2、心浮气躁的忙。

有的人不会忙,做事没有条理,不分轻重,不分先后,乱忙一气,忙得自己心浮气躁。我们看苍蝇、蚊子投窗想要寻找出路,它猛撞玻璃,不知道旁边有空隙可以钻出。我们再看成群的蚂蚁忙着奔来跑去,但它们有分工、有讯号、有指挥,忙得有条理。有的人跟瞎撞的蚊蝇一样,口口声声说忙,只是乱忙。人要懂得分轻重缓急去做事,举重若轻,才不至于忙得心浮气躁。

3、开开心心的忙。

忙是生活的意义,忙是生命的动力,忙的人生是骄傲的人生。你看,工商大亨哪个不忙?官员领导们有谁说他不忙?忙带来生活的充实,带来生命的意义,带来事业的成就,带来财富的增加。人要忙,而且要忙得欢喜,忙得快乐。假如一个人不肯忙,表示他的生命已经没有光彩了。忙是有用,不忙就没有用;没有用的人生,谁会在乎他的存在呢?所以,人要开开心心地忙,为充实生活而忙。

4、不甘不愿的忙。

有的人忙得心不甘情不愿,那是最苦的人生。忙得不甘愿的人,必然是他没有从忙中得到快乐,没有体会到身心寄托的地方就是忙——不忙做什么呢?当然,有人会说:“为谁作嫁为谁忙?”因为他不懂人生为什么要忙,当然不甘愿帮人家的忙。其实世间没有白吃的午餐,也没有白干的活,你帮人家的忙就是帮自己的忙。不愿意忙的人应转化观念:一切为人忙的事,对自己都有益,例如可以升官,可以升级,可以得奖,甚至可以放慰劳假。假如你能想到一切的忙与自己的未来都有关系有帮助,懂得忙就是营养、忙就是力量、忙就是成就,你可能反而会问:“人生为什么不要忙呢?”

二、贫富贵贱

我们活在人间,必须有一些资粮。世间有所谓“开门七件事,柴米油盐酱醋茶”,意思是日常生活要有起码的条件。可惜人们错把追求物质当作了人生的目的,发展出计较与比较之后的贫富差别,比如“贫居闹市无人问,富在深山有远亲”、“富家一席酒,穷汉半年粮”、“宁吃少年苦,不受老来贫”、“有钱能使鬼推磨,无钱难倒英雄汉”,这些都是来自民间深刻的感叹。贫与富自有其因果来由,以下四点说明:

1、富足来自知足。

知足第一富,如颜回“一箪食,一瓢饮,在陋巷,人不堪其忧,回也不改其乐”。这正是安贫乐道的典范。一个人拥有再多,如果内心不知满足,那种精神上的贫穷更加可怜!所以,人的富足并不是看在金钱数字上的多少,而是看一个人知足与否。

2、尊贵来自谦卑。

老子曰:“上善若水,水善利万物而不争。”由于水性谦下,总是往低处流,所以世间万物都受到流水默默的哺育。世界屋脊喜马拉雅山冰川所蕴育的恒河、印度河、雅鲁藏布江、怒江、长江、黄河、湄公河等七大河流,供给了印、中、尼、泰等数十亿人民的水源。山顶上冰雪的高贵,恰是来自谦下的流水。有德的君子,他的尊贵,正是他的谦下利民而不自以为崇高。

3、贫穷来自吝啬。

什么是真正的穷人?欲望无穷是一种心的贫穷。人的心田不是用来生长欲望的,而是用来生长菩提慧命以圆满人生。其实,任何人出生,这宇宙间的财富都有他的一份,所谓“一枝草,一点露”。而要取得财富,必须先把手掌放开。如果你始终紧握着手里的旧物,又如何能取得新的资源呢?想要圆满人生,首先要有“同体共生”的认识,能“喜舍”才是真正的富有。

4、卑贱来自傲慢。

傲慢就是自大,就是以己之长辱他之短。佛经云:“若骄慢生,则长养一切杂染之法。心不谦下,由此则生死轮转,受无穷苦。”凡夫不知宿命,故常骄慢,因为骄慢,所以不畏造恶受果报、不愿悔过,也不精进于修行万善。

所以,人之富是知满足,人之贵是能谦下,人之贫是不知舍,人之卑贱是因为骄慢自大。

三、夫妻之道有三等

感情的交流,以公理正义为原则;语言的沟通,以体谅包容为雅量;人我的相处,以不违情理为自然;金钱的运用,以量入量出为正常。

夫妻之间应该怎样相处?夫妇之道有三等,你是哪一个等的呢?有以下六点参考:

上等的丈夫会想到太太忙于工作,还要忙于家务,必定辛苦,下班回到家里,他会体恤太太的辛劳,协助太太操持家事。

中等的丈夫,不会帮忙做家事,回到家里,虽然喝茶看报纸,但至少嘴巴还会赞美太太,感谢太太的付出。如此,太太再怎么辛苦,也能甘之如饴。

下等的丈夫,回到家里,就是一副自己最辛苦、自以为对家庭付出最多的姿态。要么嫌太太菜煮得不好,要么嫌太太不会打扮,看不顺眼,东嫌西嫌,气势凌人。

上等的太太,治家整洁,贤惠有礼。俗语说:“家有良妻,如国有良相。”一位贤良妻子能开源节流,将家打理得妥当,维护环境整洁,态度温敬柔软,周到体贴,行仪慈孝和顺,让先生无后顾之忧。

中等的太太,慰问、赞美丈夫的辛劳。莎士比亚说:“一个好妻子,除了处理家务外,还兼有慈母、良伴、恋人三种身份。”所以,治家能力差一点的太太,至少要能多说好话,要常常慰问、赞美丈夫的辛劳与付出。

下等的太太,不但不善于治家,丈夫辛苦一天回到家时她还会喋喋不休,要么嫌弃他的职业赚钱太少,要么埋怨住得不好、穿得不暖,如此只会让丈夫觉得家如监狱。

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