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“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例:“韩信点兵”问题.(07版高中新教材3,第88页例4)
韩信是汉高祖刘邦手下的大将,他英勇善战,智谋超群,为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候,为了保住军事机密,不让敌人知道部队的实力,采用了下述点兵的方法:先令士兵从1~3报数,结果最后一个士兵报2;再令士兵从1~5报数,结果最后一位士兵报到3;又令士兵从1~7报数,结果最后一个士兵报4.这样,韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法,求出士兵至少有多少人。
何为算法,粗略地讲,是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法:即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续,……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题:若设士兵总人数为N,则N=3K1+2(K1=0,1,2,…)其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名,则士兵总人数为N=5K2+3(K2=0,1,2,…),若采用循环1到7报数点名,则士兵总人数为N=7K3+4(K3=0,1,2,…).显然,满足上面三个条件中任意一个(或2个或3个)都不能确定士兵总人数N.理由很简单,从方程求解的角度来分析上面的三个条件,即满足
N=3K1+2(K1=0,1,2,…)

(I)
N=5K2+3(K2=0,1,2,…)

(II)
N=7K3+4(K3=0,1,2,…)

(III)
当满足一个条件时,相当于二元一次方程求正整数解,没有确定解;当满足其中任两个条件时,相当于两个三元一次方程组求正整数解,一般情况下无定解;当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解,通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数,但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I,可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数,至此,基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题,即由N=3K1+2(K1=0,1,2,…);
N=5K2+3(K2=0,1,2,…);
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…)可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3(*),求Nmin.由(*)可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道,它总可以分解为五个小问题,每个小问题的解决有相应确定的步骤,这就提醒我们可设计一个算法,借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢?可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2;第二步依次加3得出除3余2的一列数(通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…)2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…;第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8,正整数8既满足条件I,也满足条件II且是最小的符合要求的数,进而产生一个新的正整数数列,依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II,因为
N=15K4+8,(K4=0,1,2,…)
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 (其中5K4+2为正整数)
满足条件I
N=15K4+8,(K4=0,1,2,……)
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3

(其中3K4+1为正整数)
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后,就找到了所求数53,这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化,以便更简地获得结果呢?
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑,如附图(略).问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试,找是否有可行的算法,“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑,即产生三个数列:
N=3K1+2 (K1=0,1,2,…)
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3

(K2=0,1,2,…)
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4

(K4=0,1,2,…)
4,11,18,25,32,…,53,…

从这三个数列中找最小的相同项,即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序,上面式子不变,因而任取3,5,7的一个排列,就产生类似于上面算法的一个算法,比如,按由大到小即7,5,3步骤也可实现(见教材第89页算法),可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
(1)“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数?若有第二个数应该是多少?能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析,很快可以得到下面的一个公式,即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…),该公式是满足条件I,II,III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合,因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序,只要按这些步骤执行,就能使问题得到解决。
(2)对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法,可以通过交流思考,从中去粗取优,存精取巧,做求优求简的改进。寻求新的算法,掌握较成熟的少数算法,将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想,体会到一个问题的解决可能存在多种算法,有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明:
2007年新版高中数学教材还未试行,那时才开始全员培训高中教师,2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》,与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢!写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日 https://t.cn/A6PQ6kIC

岱岳区事业单位公开招聘正在火热报名中!(附岗位汇总表)
#泰安身边事##泰安#
根据全区事业单位岗位空缺情况和工作需要,按照《事业单位人事管理条例》(国务院令第652号)、《事业单位公开招聘人员暂行规定》(人事部令第6号)有关规定,现将2020年岱岳区事业单位公开招聘工作人员有关事项公告如下:

1
应聘条件

(一)具有中华人民共和国国籍;

(二)遵守宪法和法律;

(三)具有良好的道德品行和适应岗位的身体条件;

(四)具有招聘岗位要求的专业或技能条件;

(五)年龄应在40周岁以下(1979年2月10日以后出生);

(六)具备招聘岗位所需的其他条件。

曾受过刑事处罚和曾被开除公职的人员、在读全日制普通高校非应届毕业生、现役军人以及法律法规规定不得聘用的其他情形人员不得应聘,在读全日制普通高校非应届毕业生不能用已取得的学历学位作为条件应聘。

根据国家和省有关规定,由山东省统一组织招募和选派的“三支一扶”计划、“大学生志愿服务西部计划”等服务基层项目人员(以下简称服务基层项目人员),服务地在泰安(服务西部计划人员除外),服务满2年且完成协议书(合同)规定服务期限、考核合格后,3年内(指2016年、2017年、2018年招募和选派人员,其中“三支一扶”计划仅限2016年招募人员)应聘的,设置专项招聘计划,实行定向招聘。2018年1月1日至2019年12月31日期间,服役期满退伍且取得学历学位或退伍复学取得学历学位,从泰安市入伍的全日制普通高等院校大学生退役士兵(含义务兵和士官)应聘的,设置专项招聘计划,实行定向招聘。已享受优惠政策被录用为公务员或招聘为事业单位工作人员的,不再适用该优惠政策。

在岱岳区镇(街道)事业单位工作5年及以上的在编人员,经单位同意,可报考定向招聘岗位。

符合招聘岗位条件的残疾人,可应聘残疾人定向招聘岗位。

取得高级工、预备技师职业资格的高级技校或技师学院全日制毕业生,可分别按照全日制高职(大专)、本科毕业生应聘符合条件的岗位。

应聘人员不得应聘《事业单位人事管理回避规定》(人社部规〔2019〕1号)中应回避情形的岗位。

2
招聘岗位
岱岳区事业单位公开招聘工作人员的岗位条件、招聘人数等具体要求见《2020年岱岳区事业单位公开招聘工作人员岗位计划表》(附件1,以下简称《岗位计划表》)。

3
报名和资格审查
应聘人员在报名时,应仔细阅读本简章及《2020年岱岳区事业单位公开招聘工作人员应聘须知》(见附件2)有关注意事项。

(一)个人报名

报名时间:2020年2月10日 9:00—2月14日16:00

查询时间:2020年2月10日 11:00—2月15日16:00

报名网站:岱岳区人民政府网

报名网址:https://t.cn/zO7OWUw

应聘人员登录报名网站进行报名,如实填写、提报个人信息资料,填报的信息必须真实、全面、准确。每人限报一个岗位。应聘人员在招聘单位资格初审前修改报名信息的,后一次自动替换前一次信息。招聘单位初审通过,报名信息不能更改。https://t.cn/A6hL8I4i ,单位尚未初审或者初审未通过的,不能再改报其他岗位,不能修改、补充报名信息。

(二)单位初审

初审时间:2020年2月10日11:00—2月15日16:00

招聘单位指定专人负责资格初审工作(节假日不休息),及时查看本单位网上报名情况,认真进行资格审查,确认初审结果。招聘单位在应聘人员信息提交2小时后进行初审。网上报名期间,招聘单位安排专人接听咨询电话,提供咨询服务。

(三)网上缴费

缴费时间:2020年2月10日11:00—2月16日16:00

通过资格初审的人员,在规定时间内登录岱岳区人民政府网站进行网上缴费。逾期未缴费的,视为放弃。缴费成功人员于https://t.cn/A6hL8IqM 、《2020年岱岳区事业单位公开招聘工作人员报名登记表》和《应聘事业单位工作人员诚信承诺书》(参加面试时使用)。

根据山东省发展和改革委员会、山东省财政厅《关于重新明确机关事业单位人员录用考试报名考务费标准问题的通知》(鲁发改成本〔2018〕1427号)核定的标准,笔试考务费的收取标准为每人每科40元。拟享受减免考务费的应聘人员,不实行网上缴费,在招聘单位初审通过后,于https://t.cn/A6hL8Ith ,到岱岳区人力资源和社会保障局事业单位人事管理科(地址:岱岳区政府大楼C612室)办理减免手续。超过审核确认时间的不再受理。

报名结束后,对最终确定的应聘人数达不到计划招聘人数3倍的招聘岗位,计划招聘1人的取消招聘计划;计划招聘2人及以上的,按1:3的比例相应核减招聘计划。取消或核减计划的招聘岗位在岱岳区人民政府网站予以公布。取消招聘计划岗位的应聘人员,可在规定时间内改报《岗位计划表》中其他符合条件的岗位。请应聘人员在确认缴费后,注意关注取消岗位公告,并保持联系方式畅通。

(四)资格审查

对应聘人员的资格审查工作,贯穿招聘工作的全过程。进入面试的应聘人员,需按照招聘岗位要求,向招聘单位提交《2020年岱岳区事业单位公开招聘工作人员报名登记表》、《应聘事业单位工作人员诚信承诺书》、《笔试准考证》、相关证明材料及1寸近期正面免冠照片2张(与网上报名上传照片同底版),相关证明材料主要包括:

1、全日制普通高校应届毕业生应聘的,提交身份证、学校核发的就业推荐表。

2、其他人员应聘的,提交国家承认的学历、学位证书(岗位没有学位要求的可不用提供学位证书)、身份证,学历、学位及其他相关证书须在2020年2月10日前取得。

3、在职人员应聘的,提交有用人权限部门或单位出具的同意应聘介绍信(样式见附件3)。对按时出具同意应聘介绍信确有困难的在职人员,经招聘单位同意,也可在考察或体检时提供。

4、应聘面向“三支一扶”和服务西部计划人员招聘岗位的,除出具国家承认的学历证书、身份证和毕业当年就业主管机构签发的报到证外,参加“三支一扶”计划项目人员出具山东省“三支一扶”工作协调管理办公室签发的《招募通知书》和县以上人社部门出具的考核材料;参加“大学生志愿服务西部计划”项目人员出具共青团山东省委考核认定的证明材料、共青团中央统一制作的服务证和大学生志愿服务西部计划鉴定表。应聘面向退役大学生士兵和在镇街事业单位工作5年及以上的在编在岗人员招聘岗位的,还需提供相关证明材料。

5、招聘岗位对应聘人员有工作年限要求的,工作年限均截止到2020年2月10日,应审查其相关工作经历情况,提交《专业工作经历证明信》(样式见附件4)。在不同单位从事相关工作的,由不同单位分时间段出具证明。

6、招聘岗位有其他特殊要求的,应根据具体要求提供相应的证明材料。

取得面试资格的应聘人员在面试人员资格审查截止日前仍未向招聘单位提交有关材料的,视为弃权。经审查不具备应聘条件的,取消面试资格。因弃权或取消资格造成的空缺,从达到笔试合格分数线的应聘人员中,按笔试成绩由高分到低分依次递补,并在岱岳区政府网站上公布。

4
考试内容和方法
考试分为笔试和面试,均采用百分制计算总成绩。

(一)笔试

笔试采取与山东省属事业单位初级综合类岗位公开招聘笔试统一考试、统一标准、统一阅卷的方式同步进行。笔试只考一科。考试内容包括:法律法规、政治经济理论、时政方针、科技知识、省情省况等基础性知识和综合写作。为保证新进人员基本素质,笔试设定最低合格分数线,由区事业单位公开招聘主管机关根据岗位招聘人数和笔试情况确定。

笔试时间:2020年3月22日上午 9:00—11:30

应聘人员凭笔试准考证和本人有效身份证件(与报名时一致)参加笔试。

(二)面试

达到笔试合格分数线的应聘人员,根据招聘计划和招聘岗位由高分到低分按1:3的比例确定面试人员。笔试合格人数出现空缺的岗位,取消招聘计划;达不到1:3比例的岗位,按实有合格人数确定进入面试人员。

经资格审查合格后,进入面试人员名单在岱岳区人民政府网站上公布。面试的方式、时间和地点另行通知。

面试结束后,按笔试成绩、面试成绩各占50%的比例,采用百分制计算考试总成绩。笔试成绩、面试成绩、考试总成绩均计算到小数点后两位数,尾数四舍五入。面试设定面试合格分数线,进入考察体检范围人员的面试成绩不得低于60分。面试成绩、考试总成绩在岱岳区人民政府网站公布。

5
考察体检
根据应聘人员考试总成绩,由高分到低分按1:1的比例,确定进入考察范围人选,组织考察。如同一招聘岗位应聘人员出现考试总成绩并列的,则按笔试成绩由高分到低分确定人选,笔试成绩也并列的,加试确定人选。

招聘单位及其主管部门组成考察工作组,对进入考察范围人选进行考察。考察可根据岗位条件要求采取多种方式进行,主要考察思想政治表现、道德品质、业务能力、工作实绩、遵纪守法和廉洁自律等方面情况,并依据相关规定对考察对象个人档案进行审查,对考察对象是否符合规定的岗位资格条件、提供的相关信息材料是否真实准确等进行复审。考察工作组要实事求是,全面、客观、公正地评价被考察对象,并写出书面考察意见。

对考察合格人员,按招聘人数1:1的比例确定进入体检范围人选。体检标准和项目参照《关于修订〈公务员录用体检通用标准(试行)〉及〈公务员录用体检操作手册(试行)〉有关内容的通知》(人社部发〔2016〕140号)执行,国家另有规定的从其规定。应聘人员在体检过程中有意隐瞒影响聘用的疾病或者病史的,不予聘用;在体检过程中有串通体检工作人员作弊或者请他人顶替体检以及交换、替换化验样本等作弊行为的,体检结果无效,取消应聘资格并按有关规定处理。

应聘人员未按规定时间、地点参加体检的,视为自动放弃。对按规定需要复检的,不得在原体检医院进行,复检只能进行1次,结果以复检结论为准。

对放弃考察体检或考察体检不合格造成的空缺,从同一岗位面试成绩合格人员中按照总成绩从高分到低分依次等额递补。

6
公示聘用
考试、考察、体检合格的拟聘用人员,由区事业单位公开招聘主管机关在岱岳区政府网站统一公示,公示期为7个工作日,拟聘用人员名单公示后不再递补。公示期间有异议的,由招聘单位主管部门按照有关规定调查处理,作出结论。公示期满,对反映问题影响聘用并查实的,不予聘用。对没有问题或者反映问题不影响聘用的,由招聘单位或其主管部门提出聘用意见,报区事业单位公开招聘主管机关备案后发放《事业单位招聘工作人员通知书》;凭《事业单位招聘工作人员通知书》办理相关手续。聘用单位和受聘人员按规定签订聘用合同,确立人事关系。受聘人员按规定实行试用期制度,期满合格的正式聘用,不合格的解除聘用合同。

7
其他
岱岳区事业单位公开招聘考试不指定考试教材和辅导用书,不举办也不授权或委托任何机构举办考试辅导培训班。

网上报名咨询电话详见《岗位计划表》(附件1)中各招聘单位咨询电话

网上报名技术咨询电话:0531—66680723

公开招聘监督联系电话:0538—8569803


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