在任意图形AacE中，有直线Aa、AE和曲线acE，同时，有任意多个平行四边形AKbB、BLcC、CMdD等，底边AB、BC、CD等是相等的，侧边Bb、Cc、Dd等则与图形的边Aa平行。作平行四边形aKbI、bLcm、cMdn等，如果那些平行四边形的宽再减小，且平行四边形的数目近似无限，那么，曲线内切图形AKbLcMdD、外切图形AaIbmcndoE和曲线图形AabcdE的最终比值趋于等量之比。由于内切图形与外切图形的差是平行四边形KaIb、Lbmc、Mcnd和DdoE之和，即（底边相等）以其中一个长方形的底Kb，以它们的高度和Aa为高的矩形，另一边之和是边Aa的平行四边形，也就是平行四边形ABIa。但由于这个平行四边形的宽AB是无限缩小的，因而平行四边形也就小于任何给定的空间。由此，根据引理1，内切图形和外切图形最终相等，而中间的曲线图形也相等。

【研究人员发现遥远的长周期彗星会出现迅速消逝的现象】
当彗星接近太阳时，它们释放的气体和尘埃被天文学家称为彗星活动。对于经过地球轨道附近或内部的彗星，这种活动会在连续的轨道上减慢。俄克拉荷马大学的天文学家Nathan Kaib发现，当彗星反复通过土星以外更遥远的区域时也会出现这种彗星消逝的现象。

Kaib是俄克拉荷马大学Dodge家族文理学院Homer L. Dodge物理和天文学系的副教授，同时他也是发表在《Science Advances》上的文章《Comet Fading Begins Before Saturn》的论文第一作者。

这种彗星活动使彗星在天空中具有特别引人注意的外观，另外还能使天文学家相对容易找到它们。由于来自太阳的极端热量不断消耗它们表面的冰供应，经过地球附近的彗星的活动随着时间的推移而减少或者说消退。

在这项研究中，Kaib发现，这种消退现象也发生在经过外太阳系的土星轨道附近或以外的彗星中。让他感到惊讶的是，跟那些靠近地球的彗星相比，这些彗星经历的来自太阳的加热要弱得多。事实上，跟较近的彗星不同，太阳的加热是如此之弱，以至于这些彗星上的水基冰无法被蒸发掉。

通过对彗星在外太阳系巨行星附近旅行的计算机模拟，Kaib发现，由于巨行星的引力迅速缩小了远处彗星的轨道，所以它们在通过外太阳系的间隙中离开太阳的行程较小。“因此，我们应该期望外太阳系在这些缩小的轨道上有更多的彗星，而不是那些在较大轨道上的彗星。相反，天文学家看到的情况恰恰相反；在天文学家的观测中几乎完全没有轨道缩小的遥远彗星，而轨道较大的彗星在我们对外太阳系的普查中占主导地位。在这种轨道缩小过程中发生的快速彗星消退解释了这种悖论，因为它将有效地使老彗星在天文学家的搜索中看不到。”

鉴于遥远的彗星因其遥远而难以研究，天文学家对彗星的了解大多是基于研究地球附近轨道上的彗星。Kaib的发现表明，在发现许多近地彗星之前通过外太阳系的通道可能会改变它们的物理特性。

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