国际奥数包揽金牌:中国人的数学,为何这么厉害?
《史记·留侯列传》中,记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景,当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时,张良答道:“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹,为刘邦一一数出利弊,这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算,衍生出经略谋划之意,“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时,也被译为“运筹学”。
在我国古代,数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍,是先人使用数千年的“计算器”,其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法,影响不可谓不深远。尽管随着时间推移,算筹在元代以后逐渐淡出,但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹:演天地之数
算筹又名算子、筹策,它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载:“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式,其他古文明中亦有应用。在此基础上,先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”(Quipu),是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方,不同形状的绳结可以代表不同数字,也可以用来计算总数,不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载:“黄帝使羲和占日,常仪占月,臾区占星气,伶伦造律吕,大桡作甲子,隶首作算数,容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物,但也可一窥“算数”历史之悠久,并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听,□财而无枝”之语,有研究者认为,“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之,“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器,叫做“中”,《周礼》中记载“凡射事,饰中,舍算”,后世有注“中,所以盛算也”,它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期,算筹的使用已经相当普遍,《论语》中有“斗筲之人,何足算也”,《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年,在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹,是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中,明确了它的制作规范:“其算,法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”换算成今天常用的单位,就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒,一套共271根,叫做“一握”,可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制,亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形,也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中,用“每自执牙筹,昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕:“盗夜发咸阳原上古墓,有火光出,用剑击之,铿然以坠,视之,白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪?既击碎之,有中官取以作算筹。”古人用帘,需能随意舒卷,因此白玉帘可能不是整片的白玉,而是由多条磨细的玉棒连缀而成,正适合做算筹。
古人为了携带方便,通常将算筹放在一个布袋里,挂在腰带上,这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定,“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子,被古人认为“秦皇东游,弃算袋于海,化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃(Virgularia sp.),因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形,很像一根算筹,古人称之为“越王余算”,并创造了相关传说:“昔晋安越王渡南海,将黑角白骨作算筹,其有馀者,弃于水中而生此,故叶白者似骨,黑者似角。
纵横布筹,算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算?或许有人会联想起一个经典的笑话:老师教学生写字,讲“‘一’字画一横,‘二’字画两横,‘三’字画三横”,学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信,他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹,要怎么表达数字呢?难道也像这个故事里的学生那样,表达数字“一”摆一根,数字“十”摆十根,数字“万”摆一万根吗?其实,古代的算筹记数依据是“位值制”记数法,即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身,而取决于它在记数中所处的位置,这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上,即每满十数进位,相比于二十进制、六十进制,这种进位制的应用最广泛,我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期,我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到:“一少于二,而多于五,说在建。”意思是,如果一和二都位于个位,一比二小;但如果一位于十位及以上,它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载,晋国绛县老人自称“臣生之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣,其季于今,三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日,最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁,师旷说:“73年。”史赵则给出了一个字谜:“亥有二首六身,下二如身,是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横,下面是三个“人”字,形同“六”字,如果把上面的“二”移到下方,就成了“二六六六零”,将天数折合为年就是73年。(如果是2666天,和现实不符)
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”
“一纵十横,百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法,个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放,避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹,如果要用算筹表达从6到9的数字,则不需要摆和数字一样多的根数,而是先摆一根代表5,再在和它垂直交叉的方向放上1到4根,就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符,用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上,五在上方,六不积算,五不单张”。
算筹摆位的时候,高位在左,低位在右,和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”,并不需要摆71824根,只需要在个位摆4根,十位摆2根,百位摆8根,千位摆1根,万位摆7根就可以。因此,现代认为,“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合,表示任何十进位数字的系统”。
与之相比,其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如,以古埃及的数字形式表达“3244”,需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字,并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数,在书写数字时,将对应的字母写在一起,如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大,则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2,中下为2/3,底部为1/12;中栏中间表达数字为60,右栏顶部为1/30,中间为1/40。
用算筹做加法、减法,是按照从左到右的顺序,从高位到低位逐位相加、相减,随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹,也可以直接在被加或被减的数字上操作,把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似,以乘法为例,古人的做法是“上下相乘,实居中央”,先把乘数和被乘数按上下位置摆好,按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位,把乘得的积摆在上下两数中间,然后去掉上面的数的第一位,把下面的数往右移动一位;再用上面数的第二位乘下面数的每一位,把结果和中间的乘积相加……这样以此类推,直到计算完成。做除法是将被除数放中排,除数放下排,商数放上排,余数放在最下一排,刘徽《九章算术注》中定义,在上的筹称“实”,在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算,可以将算筹涂上不同的颜色,宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数;如果使用同色算筹,就在数字最后一位斜放一根,以示区分。做小数计算的话,要将小数部分和整数部分区分开,南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称,比如要计算天数,就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时,和现代的分数表达形式一样上下摆放,《孙子算经》称在上的筹为“子”,在下的筹为“母”,这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来,甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算,《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴,“大乘除皆不下照位,运筹如飞,人眼不能逐。人有故移其一算者,朴自上至下手循一遍,至移算处,则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点,即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算,算筹还可以用来做开方、开立方,解高次方程、四元方程等,自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就,都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石,它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。

愚者以幻为真,智者知幻即离。我们要了解,世间为我所用,非我所有,学佛就是为了令本性显露;本性显露,你就能解脱一切的痛苦、烦恼,如果能够令我们的智慧大开,圆满的清净心显现,恢复佛性的原态,那么,就是我们学佛的目的,我们便能入于不生不灭的涅槃的境界,更有能力就要救众生,这个就是我们学佛的目的。所以,学佛既现实又超越,既超越又现实;学佛是内心洒脱,外相庄严;正信的佛教是理性的,同时内心充满着大智慧,信仰是理智的延续,不是感情作用。
[合十][合十][合十]

网友:我丈夫瞒着我把买房的700000借给别人,3年了还没要回来,我一生气就和他离了婚回娘家。过了几天,我的银行账户突然收到一笔700000的转账。心想以为是老公把钱要回来了,本想着和他复婚了,却没想到打钱给我的是一个女人。

我今年34岁,之前一直在租房。工作这些年一家人一直省吃俭用,辛苦工作,使足干劲,目的就想快点换房。我估计了一下,当我们有70万的时候就足够买房了。然而一天,我发现我们的积蓄都没有了,当我知道了真相后,发现老公已经把钱借给了别人。

当时我就问老公钱去哪里了?他支支吾吾的说不清楚。之后我就急了,他才说是借给了别人,我问他借给了谁,他也不说。我严重怀疑他把钱借给了他的女同学了,但是他就是不说也不承认借给了女同学,我搞不懂他是什么意思?

现在谁都知道,借个钱比登天还难。我爸爸生病那几年,家里面到处去借钱,才借了区区的几万块钱,而现在老公却把70万块钱轻轻松松的就借给了别人。

由此可见她和借钱人的关系非同一般,他虽然不说,但是我心里有两个猜想,一方面可能是他兄弟借的。另外一种可能就是他要好的女同学了。

诸位,那可是70万啊,不是简单的7000块钱啊。老公也向我打保证,说那笔钱在半年之内就会归还,当时也是没有其他办法了,就只好同意了。

不过让我万万没有想到的是,快要到半年期限的时候,老公却告诉我借钱的那位已经失联了,他满脸懊恼的求我原谅他,以后的事情都会听我的,并且不会自作主张把钱随便借给别人了。

听到这个消息我火冒三丈,我怎么能冷静下来,并且以我们现在的收入加上不吃不喝,至少都需要六七年的时间才有那么多钱。

回到娘家,妈说:这种男人不可靠,趁早离婚。说我现在才34岁,及时止损还有救,如果继续和他过下去的话,不说34岁,就算到了44岁还是这样?保不齐那时候你都还没有属于自己的房子。

我回头想了想,觉得妈妈说得有道理。我老公这人,性情太软了,而且是个热心肠,假如同学有事情的话,第一时间肯定想到他,而且他从来不会推脱的。但是这次借出去的70万是怎么回事我一概不知。

我很反感他的行为,但老公根本不会理会我,并总是说,谁都有遇到困难的时候,能帮一把是一把。

以前的事情我可以不计较,但这一次我真的是伤心了。我打算听妈妈的建议,离了婚回老家,老公跪下苦苦挽留我,但我的态度坚决,要么你把钱拿回来,要么就是离婚,其他没有什么可能性了。

老公无它法只好签字离婚,回到娘家心里空落落的。到了晚上,我女儿给我打电话说想我,我说我也想你,但是妈妈也没办法啊,你爸爸做的太过分了,和他一起过我看不到任何希望。

我女儿9岁了,肯定也知道发生了什么事情,她在爷爷奶奶家,有什么照顾,我还不担心。

然而,我的处境并不好,回到老家后我感觉全身不自在。我妈是和弟弟弟媳住在一起的,是个三室居的房子。

没有来娘家前,弟弟和媳妇住一间,我妈住一间,小外侄自己住一间。我的意思是让外侄和我妈住一间,我自己住一间,但外侄不同意,妈让我和她住一间。妈妈和女儿住在一间本来很正常,不过我是多大的人了啊?

我发觉这房子尽管是妈妈的,但妈妈却没有权利,一切都是弟媳说了算,我有些伤心,嫁出去的女儿果然是泼出去的水。就在这会,我的银行账户突然收到70万的转账。我心情马上就好起来了,以为老公把钱要了回来,准备打电话给他准备复婚。

不过我电话号码还没有拨,别人就给我打电话来了。

然而给我打电话的是个女人,并说那70万是她转给我的,账号是从我前夫那里得来的。她坦诚的说,我老公半年前借钱给她度过了困境,然而她万万没想到,事情并不顺利延缓了还钱的日子。她对我道了歉,还说我不是一个好妻子,仅仅为了钱就和自己的丈夫离婚。

接着她说:你抛弃的男人,我要。等她挂了电话,我犹豫了一下给我老公打电话,然而他却对我说:我马上结婚了,你保重。说完立刻挂了电话。

我搞不明白了,万万没想到离婚后他先找到归属。我心中感到后悔极了,但我自认为自己没错,前夫擅作主张把70万借给别人不告知我,我不应该生气吗?也许他和那个女儿早就有拉扯了。但是有一点我搞不懂,为什么他会把钱还给我?


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