看到推特上@AndresECaicedo1 写的一串帖子,相当有意思,题目叫“√17是无理数吗?”。

柏拉图的《泰阿泰德》篇中有这样一段:
=============================
泰阿泰德:经你这么一说,苏格拉底,事情现在显得容易了。你提出的这个问题的意义似乎与此地一位与你同名的苏格拉底发现的问题属于同一类,前不久我与他交谈过。
苏格拉底:那是什么问题,泰阿泰德?
泰阿泰德:当时塞奥多洛在这里给我们讲平方根,面积为三平方尺或五平方尺的正方形的每一边(或根)都无法用代表一尺的线段来度量,以这种方式,他逐一举例,一直讲到十七平方尺。然后由于某些原因而停了下来。这个时候我们想到,这些平方根显然是无穷的,我们应该尝试着找一个集合名词,用它来表示所有这样的平方根。
苏格拉底:你们找到了吗?
泰阿泰德:我想是的,但我想听听你的看法。
苏格拉底:你先说完。
泰阿泰德:我们把所有的数分成两类。我们把任何作为某数自身相乘而得到的数比作正方形,称之为正方形数或等边形数。
苏格拉底:太好了!
泰阿泰德:任何介于此类数之间的数,例如三、五,或者任何不能靠某数自身相乘获得,但有一个因子大于或小于其他因子,因而其相应图形的对边也总是不相等的数,我们把它们比作长方形,称作长方形数。
苏格拉底:好极了!请说下去。
泰阿泰德:我们把所有用来代表等边形数、构成这个平面图形的所有相等的边的线段定义为边长,而由正方形的边长构成的平面图形的面积与某个长方形的面积相等,我们把作为正方形的边长的线段称之为平方根(不尽根),因为这些线段不能用其他长度的线段来度量,而只有用面积与以它们为边长构成的平面图形相等的正方形的边长才能加以度量。关于立方体的同类问题还有另一个区别。
苏格拉底:无法再好了,我的年轻朋友们,我敢肯定没有人会指控塞奥多洛作伪证。
=============================

雅典的泰阿泰德是公元前四世纪的古希腊数学家,以研究无理数(成就大多数记载在欧几里得《几何原本》的第十卷里)和证明了正多面体只有五种而著名。他是对话中提到的昔兰尼的塞奥多洛的学生,塞奥多洛也以对无理数的研究闻名。对话中说塞奥多洛证√3是无理数,然后√5是无理数等等,一直到√17时,“由于某些原因而停了下来”。这个原因是什么呢?

我们先来看著名的√2是无理数的证明,据说毕达哥拉斯学派的希帕索斯因为发现了这个证明而被丢入海中溺死。
=============================
假如√2是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√2 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
2q^2 = p^2
等式左边是个偶数,于是右边p^2也是偶数。但只有偶数的平方才会是偶数,所以p必须是偶数,设p=2t。于是
2q^2 = (2t)^2 = 4t^2
q^2 = 2t^2
类似上面的推理,这下q也得是偶数了,和假设矛盾。得证。
=============================

对于任何一个素数s,上面这个证法可以推广成证√s是无理数:只要把“是偶数”换成“能被t整除”就行了,特别的关键就是只有能被素数t整除的数的平方才能被t整除。√17当然就能这样被证明是无理数。

√5当然也能按照上面这个方法来证明它是无理数,但是看下面这个证明:
=============================
假如√5是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√5 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
5q^2 = p^2
如果p和q中有一个是偶数,那么另一个就得是奇数,但这是不可能的,因为这种情况下上面的等式一边是偶数一边是奇数。所以它们两个都得是奇数,设p=2t+1,q=2s+1。于是
5(2s+1)^2 = (2t+1)^2
20s^2+20s+5 = 4t^2+4t+1
20s^2+20s+4 = 4t^2+4t
5s^2+5s+1 = t^2+t
5s(s+1)+1 = t(t+1)
连着的两个整数的乘积一定是偶数,因为里面必有一个偶数。于是上式左边是奇数,右边是偶数,得到矛盾。得证。
=============================

上面这个证明仍旧只基于奇偶性作推理而得出矛盾。有趣的是这样的方式也对比如√8这样不是素数的平方根有效:
=============================
假如√8是有理数,也就是能被写作两个整数之比,记
√8 = p/q
我们可以假设这里p/q已被约分,也即p和q不能同时是偶数。于是
8q^2 = p^2
显然p必须是偶数。设p=2t。于是
8q^2 = (2t)^2
8q^2 = 4t^2
2q^2 = t^2
我们已经见过这种情况下q必须是偶数,得到矛盾。得证。
=============================

事实上,对2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15(也即小于17的所有非平方正整数)都能只用奇偶法来证明它们的平方根,但是这种方法在证明√17是无理数时失效了。这很可能就是《泰阿泰德》篇中塞奥多洛“由于某些原因而停了下来”的原因。

古希腊人大概把数的奇偶性看得很重要,《泰阿泰德》篇中有这样的话:
=============================
苏格拉底:现在再次设想一下这个人捕捉他想要得到的知识,追捕、捉住、再放飞。我们该用什么样的术语来描述这个过程,用一些与我们用来描述最初的获得过程相同的术语,还是用其他不同的术语?举个例子也许可以帮助你明白我的意思。有一门被你们称为“算术”的科学。
泰阿泰德:对。
苏格拉底:那么把这门科学想象为追逐所有数,偶数和奇数。
泰阿泰德:我会这样做的。
=============================
那么塞奥多洛坚持用这种用奇偶性来作推理证明平方根无理性的做法也就容易理解了。

但是严格地什么叫做“只用奇偶性作推理”呢?√17是无理数是否真是“只用奇偶性作推理”无法推出的?美国亚利桑那州立大学的两位数学家Victor Pambuccian和Celia Schacht提出了一套(或几套)比皮亚诺公理系统弱的算术公理系统(他们称之为“关于奇偶的算术系统”),在其中可以证明任何非平方数的无理性,除了那些形如8k+1的数的平方根外——17正是最小的这样的非平方数。(附图是这个系统的前15条公理,定义了一个被记作PA-的弱算术公理系统)

#无锡身边事# 【免费冷饮、24小时空调!无锡有这些好地方】
从八月中旬开始,无锡持续高温。出门在外,上有骄阳似火,下有炙地烘烤,这会儿要是能有个地方吹空调,最好还是免费的,岂不妙哉。

商场、综合体早已不是纳凉的“隐秘角落”,下面这些藏在城中的“宝藏纳凉点”你知道几个?

梁溪区政务服务中心

地点:清名路380号梁溪区政务服务中心
开放时间:大厅8:30-17:20;自助服务区24小时

设施:

自助区24小时空调,

免费矿泉水、大麦茶、万金油等

出售各类饮料、充电宝供租

梁溪区政务服务中心的一位保安师傅表示,有些北片来的市民,上午不一定能办好业务。中午大厅不关门,空调也开着,为大家提供方便。

工作人员表示,欢迎环卫工作、外卖小哥等户外工作者进来歇个脚纳个凉。路过的市民如果累了,也可以到政务服务中心的大厅和自助区休息一下,喝口水。

本月,该中心门口还开设了一个24小时自助服务区,随到随办,市民如果要打印名下的房产证明、社保资料等都可自助办理。

“文化客 音阅空间”

地点:无锡地铁一号线人民医院站内4号口附近

设施:

3处靠墙座椅、3张桌子、3张小皮凳

饮料贩卖机、智能借书柜

“文化客 音阅空间”是无锡市总工会、无锡地铁、无锡市图书馆一起为市民打造的休闲区域,设计成了地铁车厢的模样。

正中央设置了文创产品展柜,摆有各种主题的文化纪念票及衍生产品。右边的智能借还书柜里放置了各种书籍,只需通过支付宝扫码,就能完成借阅,并且和市图书馆通借通还。

夏日炎炎,酷暑难耐,许多市民都避免或减少了室外活动,而仍有不少户外工作者避无可避,必须坚守在烈日下的工作岗位上。

“城市清凉侠”公益补给站

地点:苏宁小店(滨湖区金域蓝湾外滩店、梁溪区南长街古运河店、锡山区景瑞望府店)

持续时间:预计7-9月

设施:塞满冷饮的冰柜,供环卫工人、外卖小哥、快递员、执法队员等户外工作者免费取用

公益补给站依托连锁便利超市门店,设置了冷饮冰柜,装满矿泉水、冷饮,供户外工作者免费取用。

小站工作人员介绍,每天都有十来位户外工作者来取用矿泉水或棒冰,以外卖小哥居多。每两三天还会组织一次万科的十几名保洁员来取用一次。

户外工作者可以“取”,热心公益的市民也能“予”,欢迎热心市民前来补给~

高温酷暑让很多年轻人大喊吃不消,对于体质较弱的老年人来说,此时更是一种考验。其实不用走多远,也许你家门口就有——各个街道社区的日间照料中心,就是一处最适合老年人的纳凉胜地。

河埒街道日间照料中心

地点:溪南新村168号河埒街道日间照料中心

开放时间:周一到周日9:00-17:00正常开放(除节假日或周日特殊情况通知休息 )

设施:迷你超市、餐厅、电视、可测血压和心率

进门右手边,几排货架隔起了一间迷你超市,陈列的都是米面粮油日化等日常需要的商品。

9点半,来中心的人多了起来,阿姨、阿公们三三两两坐着,有的“扯老空”,有的织毛衣,有的看报,有的看电视,很是热闹。

中午10点多,中心的餐厅窗口前就陆续有老人排队买饭了。

“自助点餐,想吃什么就买什么,菜色丰富口味好。”

每天早上还有工作人员带领做健身操,累了有床可以躺一躺,身体不舒服有医生可以咨询,还能测血压和心率。

雪浪街道日间照料中心

地点:雪浪街道老年人日间照料中心

开放时间:工作日8:30-16:30

设施:空调、趣味亲子游戏、绘本馆

雪浪街道老年人日间照料中心不光受老年人欢迎,还深受孩子们的喜爱。

每周一下午2点到4点是融韵合唱团的定期活动时间,每周四、五下午2点到4点是融曼舞蹈团的专属活动时间。

除此之外,每周还有不同的手作活动,折扇、酿酒、绘画、编织……按阿姨们的话说“老年生活不要太精彩哦”。

这里每周都会开展各类亲子活动,亲子关系讲座、亲子趣味游戏等深受辖区家庭的欢迎。

融创城社区还特意打造了“益家绘本馆”,自7月开张以来就成了孩子们欢度暑假的基地。

如果想要寻一处远离城市喧嚣的纳凉之地,不妨去乡村公益书店打卡。

乡村书房书香送清凉

地点:锡山区东港镇港南村

开放时间:9:00-17:00

设施:空调、书籍、桌椅、纯净水

在距离无锡市区偏远的东港镇港南村,绿水环绕的宁静农庄像一幅画,其中掩映着一家设计味十足的书店。负责人华女士一早就来整理,将书店归置得整齐、洁净。

当地不少学生一早就来“归房”书店打卡,这是当地最大的一家公益书店,不仅可以享受空调的清凉,更有这里数千册图书的墨香陪伴。坐久了这里还提供点心、纯净水。

#KATSUKI MEMO#
關於勝己的家庭,每次說到勝己至今的歷程卻一直沒能好好提過,看到這一話光己微笑著看著寫著KATSUKI MEMORY相簿的畫面,忍不住好多好多想說的⋯。

勝己真的是在愛的灌注下成長的孩子啊。

關於光己,有一部分人(似乎多是歐美地區,或許還有文化上的影響)認為她對勝己的教育方式是不當的,主要原因是在家庭訪問時光己狠狠拍勝己頭的舉動、以及光己「說到底都是因為你太弱了才會被綁架,給大家添了麻煩!!」這樣的一句話,若是連結到勝己在私鬥時自責、不知所措的淚水,會產生「光己的話語(及教育方式)給勝己帶來了壓力」的聯想也不是那麼奇怪的事情,但是我認為並不是那樣的。

我想光己之所以在一開始(在勝己還沒有吵鬧之前)突然拍勝己的頭,除了平日相處模式的延續,是不是也因為她感受到了勝己內心的低落—「老師們都來了,你那是什麼樣子,振作一點呀!」—包含了這樣的情緒在呢?

「說到底都是因為你太弱了才會被綁架,給大家添了麻煩!!」這句話,當然絕不是光己真的這麼想,也不是光己非本心的話使得勝己產生這樣的念頭或因此難受,不如說正因為光己很了解勝己,她知道她的孩子一定會這麼想、責怪自己的弱小,所以她才這麼說—「就算告訴勝己不是他的錯,固執的勝己也一定不會改變這樣的想法,若是激起勝己的反抗心,是否會讓他反而好受一點?不是將他視作無力弱小的孩子,而是將他視為本可以避免這一切的強大的人,嚴格地、如往常一般對待他,勝己是否反而才更自在一些?」

勝己在私鬥時的情緒爆發,並不是因為光己對待他的方式,而是勝己自入學以來、自淤泥事件以來總是無法達到自我標準,不斷累積的壓力和疑惑,加上對出久、All Might的情緒 ,最終以臨時執照的落榜而引爆。實際上,私鬥前勝己的樣子看起來幾乎和以往沒有不同,勝己在努力振作起來、努力變得更強大,在必殺技的課程上還受到同學師長的讚許,是的——就像勝己在第一次戰鬥訓練輸給出久後一般,勝己在努力自己振作起來、努力變得更加強大。
而光己和勝是以他們的方式激勵勝己、相信勝己沒問題,勝己也一定感受到了來自父母的這份信任。

同時還有的說法是「光己從小的教育方式讓勝己養成了這樣的性格」,這句話會有不同的解釋。

不太認同的是,我認為勝己自我要求高是他本身具有的特質,不(全)是光己的影響帶來的。「勝己這孩子從小就什麼都會,能力也受到眷顧,總是被別人捧在手掌心直到現在,都是些只注意表面的誇獎, 所以相澤老師您在記者會上的話我很感動,讓我心想這所學校有好好看著勝己呀(出自家庭訪問)」從這一句話配合其他內容可以得出:
勝己在總是被讚揚的壞境下,也依舊有著強烈的向上心,有驕傲自信而沒有怠惰,也可以說因為勝己的驕傲,所以他不會允許自己只止步於現狀—這是勝己身上的特質。
光己所說的「有好好看著勝己」就是指相澤老師有注意到勝己身上的這份特質,而不是他多麼強、體育祭第一什麼的;相對的這也表示光己是一位「在孩子天賦異稟的情況下,不會被孩子的才能迷惑,而好好看著孩子本身」的母親。
—與其說因為光己的教育讓勝己變得總是給予自己很大壓力,其實是因為勝己這樣的性格,光己才用這樣的方式對待他。

我認為所謂的「養成和影響」是與開頭「勝己是在愛的灌注下成長的孩子」相關的。

在勝己激烈的行為舉止之下,勝己也是一個可以正視對方、意外心思細膩的人,對麗日的全力以赴;對切島的話語和信任;試圖緩解班上失落的氣氛;對All Might 的自責和感謝;顧及轟的家庭;記著Best Jeanist 的話,想要第一個告訴他自己的英雄名;對出久的注意和競爭;想要回報、想要幫助相澤老師的心情⋯⋯粗略地簡述了一下,不是全部、有些用詞實在不太妥當⋯(詞窮[顶]),這些先暫且擱置,我想說的是:
勝己一直為了證明自己、成為第一、超越最強而掙扎著,很多行為也招致反感和批評,但是勝己他不是一個只在意勝利、只追求勝利的人,他有很多其他的對人對事的思緒,這些「勝利之外的勝己」不僅是因為勝己自身的感受性,一定也是因為光己和勝用心關注著勝己、愛著、支持著勝己,所以勝己在才能之外、在勝利之外,還有更多屬於勝己的力量、還有無限寬闊的世界。

小學一年級的勝己獨自一人打贏了找他麻煩的兩位四年級學生,小跟班跑出來說著:「小勝好厲害好厲害!」,但是勝己回到家後,一定會被光己麻麻罵:「怎麼又打架了、弄得全身髒兮兮的」,然後被拉著好好清洗、包紮傷口吧。

(下接評論)


发布     👍 0 举报 写留言 🖊   
✋热门推荐
  • 汤养宗:太姥山(长诗)(1)我爱这一座山其实就是一堆危石一座山全是努力的石头每座岩石都在引体向上一群精壮的武僧在叠罗汉突然散落一地,溅出的热血凝固成了一块块向上
  • 貌似掌握了纹眉流量密码,哈哈哈哈哈哈❗️第一次去尝试纹眉毛但是我纹之前还是有点忐忑的,加上我皮肤有点敏感,就更挑技术和色料了。3.眉峰与眉干是眉毛最多的部位,只
  • #赵睿[超话]# 好不容易安静一段时间挺和谐的又开始了,要撕下去撕,还我们一方净土,不要给睿招黑了,安安静静看球不好么?在埃兹那天,我们因为算错时间等不到车上山
  • 吃起来有层次感,再配上一杯热红酒,完美[憧憬]甜品推荐 香草冰淇凌、法式焦糖布丁焦糖味儿很浓郁,甜度也刚刚好⭕️酒店:杭州钱塘璞硯酒店杭州钱塘区金沙大道30号吾
  • 关于你:87-92年,173cm以上,离异勿扰,大众长相,大众身材,三观正常,不偏激、能控制情绪,状态nice一些,关于户口,如果你有本地户口,那对下一代确实方
  • 汤养宗:太姥山(长诗)(1)我爱这一座山其实就是一堆危石一座山全是努力的石头每座岩石都在引体向上一群精壮的武僧在叠罗汉突然散落一地,溅出的热血凝固成了一块块向上
  • 4月7日,据台媒报道,江宏杰心灰意冷准备离婚,并将力保一对儿女留在台湾自己身边,爆料称,有“读者”某次和江宏杰周边亲友聊天时,问及男方是不是离婚意愿很大,江宏杰
  • 【厦门探店】店名:官任38-11时间:18:00-00:00地址:官任路38-11号(原雀筵粤式啫啫煲) #美食[超话]# #厦门周末去哪儿# #秋季氛围感#
  • 有时候,输出自己的价值观,是想让理想的人看到,确实善良的人真太少了,很多成功的背后都掩藏了很多龌龊的手段,所以我总觉得:善良的女孩一遇到斗争就会输,可又总盼着会
  • #谁在买越来越贵的小电驴#同期摩托车、自行车销量分别约为1000万辆、1253万辆,但不知从什么时候起,曾经两三千就能买到的小电驴,如今的身价都涨到了过万一辆,
  • 进军内地“绿叶王”——张国强入行至今已经超过40年的张国强,不得不说,光是他参演过的剧集就达到了上百部,塑造了不少经典的角色。其实除了“欢喜哥”许绍雄也塑造了非
  • 师父讲经的时候曾经说过,说幸福和快乐的人不是看他的富,也不是看他的贵,就是富贵这两个字和你幸不幸福、和你快不快乐丝毫关系没有,这是师父讲经的时候告诉我们的。所以
  • 唯一可以知道的是,他早已是宇宙的起源,时间的支配者,电车的切尔西,穿越时间的电车之王,浦桃的金龙,climax的jump,最强的假面骑士,良你的太美11月12日
  • 利用工作之便,诈骗大家的血汗钱,让大家损失惨重,警察叔叔一定要抓住坏蛋,为民除害,这样的坏蛋就应该枪毙!就恨中国谢文澄这样的汉奸,专门诈骗坑害中国自己的同胞,这
  • ”yun掌柜在不起眼的地方开了间客栈,似乎很欢迎各路好汉到此歇脚,“来了就是缘分”他常常笑称...#OPL戏梦人生#  这青石铺就的小巷高低不平,二人不便乘马,
  • 2018,他还同球王马拉多纳进行会面,并向他赠送了哈萨克民族礼服洽袢(大衣)并收到了带有签名的球王赠送的球衣和皮球。-就这样,我的挑战与皮尔洛继续进行当中。
  • 如今,我们小时候整日玩耍的沙坑,姚家大坑,泥坑,寨河,苇子河,黄土河,蔡河,已多年没有水了,偶尔在夏季的雨后,会有一点点像泪水那般的涓涓细流……#童年[超话]#
  • 马云曾说过,“下一个能超过我的人一定在大健康产业”。马云说:疫情过后捡钱”的商机,大健康产业或许是穷人翻身的机会2020年开始的一场疫情,阻挡了许多人出行的脚
  • 扁身原身都能穿的好看的小香风。很久很久没好好学花艺浑浑噩噩不知道每天在干什么每天看各种新闻压的喘不过气长大带来的经验 成熟是好事也是真的怀念前两年的自己会努力学
  • verbal ambush ins更新~Azuki x AMBUSH®︎⚔️⚔️Inspired by traditional Eastern craftsma