欧氏几何与非欧几何
大罕
早在两千多年前，数学王国就建造了一座巍峨的宫殿——欧氏几何学，即欧几里得几何学．这一宏伟的建筑，是用定义、公理、公设、定理作为基本架构，以点、线、面为基本材料，由人类智慧的能工巧匠欧几里得精心建造落成的．
欧氏几何学集中体现在不朽的数学名著《几何原本》之中．这本书共有十三卷，其中
第一卷讲三角形全等的条件、三角形边和角的大小道经、平行线定义和多边形面积相等的条件．
第二卷给出了如何把三角形变成和它等积的正方形．
第三卷专门讲圆．
第四卷论述圆内接或外切多边形．
第五卷是相似多边形的理论．
第六至十卷讲比例和算术的理论．
第十一、十二、十三卷讲述立体几何学的内容．
我们初中学的平面几何，以及高中学的立体几何，是《几何原本》的精彩华章．
历史上不知有多少科学家，他们青少年时代陶醉于欧氏几何学中，从中受到严格的思维训练，从而打下坚实的数学基础．
少年时代的牛顿(英国，Isaac Newton, 1643 -1727)曾拥有一本《几何原本》，但他认为内容浅显没有认真去读它．后来他在一次奖学金的考试中落选了，感到很失望．这时，一位考官说了一句话，对牛顿震动很大．考官说：“你的几何基础太贫乏了，无论怎么用功也是不行的．”从此，牛顿发愤攻读《几何原本》，很好弥补了自己的知识缺失和能力缺陷．长大后牛顿成为物理学家、数学家和天文学家，为人类科学作出了卓越的贡献．
爱因斯坦（德国，Albert Einstein，1879-1955）是近代物理学的巨星，他于1905年建立了狭义相对论，于1916年建立了广义相对论，为人类认识自然作出了划时代的贡献．他曾回忆道：“我12岁的时候，已被几何学的这种明晰性和可靠性给我造成的一种难以形容的印象所惊奇”．后来，几何学的思想方法，对这位科学巨人的研究工作确实有很大的启示．
非欧几何又是怎么一回事呢？
这要从欧氏几何的第五公设谈起．欧几里得在《几何原本》中提出了五条公设（不加证明承认的事实），它们是：
1、从任意一点到另一点可以作直线；
2、有限的直线可以无限地延长；
3、以任意一点为中心，可以用任意的长度为半径作圆；
4、所有的直角都相等；
5、如果两条直线被第三条直线所截，在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线在这一侧无止境地延长之后，一定会相交．
上面的第5条可以用另外一种形式来叙述：“过已知直线外一已知点，能且只能作一直线与已知直线平行”．这就是著名的第五公设，也称平行公设．它还等价于一个最为简短的命题：“三角形内角和等于180°”．
问题就出在第五公设上．人们发现：在长达十三卷的《几何原本》中，唯独第五公设用得最少，只有命题29直接用到它．于是不少人怀疑这条公设是多余的，就试图用前四条公设来推证第五公设．在长达两千年的漫长岁月里，人们为“推证”第五公设，进行了不懈的努力，然而一个一个都失败了．就连法国著名数学家勒让德（Legandre，1752-1833）也不例外．最后，人们不得不承认：第五公设是必须有的，它不可能被前四个公设所推证．最富戏剧性的一幕是，匈牙利数学家博莱（F•Bolyai，1775～1856）以毕生时间试图证明第五公设可被推证而一无所获，他告诫儿子说：“不要投身于那些吞噬自己智慧、精力和心血的无底洞之中”．
就在老博莱告诫小博莱的同时，俄国数学家罗巴切夫斯基 (Лобачевский，1792-1856)在1823年写成了《虚几何学》一书．他用了另外一条平行公理：“过直线外一已知点，至少可作两条直线与已知直线平行”去替代欧氏几何的第五公设，建立了一个与欧氏几何同样严谨的新的几何学体系，这就是罗巴切夫斯基几何学，简称为罗氏几何学．
法国数学家庞斯莱（Poncelet，1788-1867）构造了一个几何模型，能帮助我们直观地了解什么是罗氏几何学．
我们把圆心在直线l上、且落在l的上半平面的半圆当成“直线”．显然，过任意两点确定一条“直线”．若两个半圆在l的上半平面没有交点，则称这两条“直线”是“平行”的．
在图1中，过“直线a”外一点P，到少可以作两条“直线”b,c与“直线a”平行．图2中的阴影部分是由A,B,C三点所确定的“三角形”，这样的“三角形”的内角和小于180°.
在罗巴切夫斯基提出罗氏几何的31年后，1854年，德国数学家黎曼（Riemann，1826-1866）发表了著名的论文“关于几何基础的假设”，针对欧氏几何和罗氏几何的平行公设，另外提出了自己的公设：“在一个平面上过直线外一点的所有直线都与这条直线相交”．并由此推出了 “三角形内角和大于180°”的结论.
黎曼的这一平行公设，继罗巴切夫斯基的平行公设之后，再一次震惊了国际数坛．1868年，也就是黎曼逝世的第三年，意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，1835-1900）给出了一个几何解释，这就是把黎曼公设里的“平面”看成是欧氏几何里的球面，如图3所示．因此过“直线”外一点都不能作“直线”平行于已知“直线”．
由黎曼建立的这一套严密的几何学，就叫做“黎曼几何学”．近代黎氏几何在广义相对理论中得到了重要的运用．不仅如此，它在现代数学的许多领域有着广泛的运用．
罗氏几何与黎氏几何，统称为非欧几何．她们同欧氏几何在一起，又被人们称为几何王国的“孪生三姐妹”，格外受到人们的青睐．
大罕
早在两千多年前，数学王国就建造了一座巍峨的宫殿——欧氏几何学，即欧几里得几何学．这一宏伟的建筑，是用定义、公理、公设、定理作为基本架构，以点、线、面为基本材料，由人类智慧的能工巧匠欧几里得精心建造落成的．
欧氏几何学集中体现在不朽的数学名著《几何原本》之中．这本书共有十三卷，其中
第一卷讲三角形全等的条件、三角形边和角的大小道经、平行线定义和多边形面积相等的条件．
第二卷给出了如何把三角形变成和它等积的正方形．
第三卷专门讲圆．
第四卷论述圆内接或外切多边形．
第五卷是相似多边形的理论．
第六至十卷讲比例和算术的理论．
第十一、十二、十三卷讲述立体几何学的内容．
我们初中学的平面几何，以及高中学的立体几何，是《几何原本》的精彩华章．
历史上不知有多少科学家，他们青少年时代陶醉于欧氏几何学中，从中受到严格的思维训练，从而打下坚实的数学基础．
少年时代的牛顿(英国，Isaac Newton, 1643 -1727)曾拥有一本《几何原本》，但他认为内容浅显没有认真去读它．后来他在一次奖学金的考试中落选了，感到很失望．这时，一位考官说了一句话，对牛顿震动很大．考官说：“你的几何基础太贫乏了，无论怎么用功也是不行的．”从此，牛顿发愤攻读《几何原本》，很好弥补了自己的知识缺失和能力缺陷．长大后牛顿成为物理学家、数学家和天文学家，为人类科学作出了卓越的贡献．
爱因斯坦（德国，Albert Einstein，1879-1955）是近代物理学的巨星，他于1905年建立了狭义相对论，于1916年建立了广义相对论，为人类认识自然作出了划时代的贡献．他曾回忆道：“我12岁的时候，已被几何学的这种明晰性和可靠性给我造成的一种难以形容的印象所惊奇”．后来，几何学的思想方法，对这位科学巨人的研究工作确实有很大的启示．
非欧几何又是怎么一回事呢？
这要从欧氏几何的第五公设谈起．欧几里得在《几何原本》中提出了五条公设（不加证明承认的事实），它们是：
1、从任意一点到另一点可以作直线；
2、有限的直线可以无限地延长；
3、以任意一点为中心，可以用任意的长度为半径作圆；
4、所有的直角都相等；
5、如果两条直线被第三条直线所截，在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线在这一侧无止境地延长之后，一定会相交．
上面的第5条可以用另外一种形式来叙述：“过已知直线外一已知点，能且只能作一直线与已知直线平行”．这就是著名的第五公设，也称平行公设．它还等价于一个最为简短的命题：“三角形内角和等于180°”．
问题就出在第五公设上．人们发现：在长达十三卷的《几何原本》中，唯独第五公设用得最少，只有命题29直接用到它．于是不少人怀疑这条公设是多余的，就试图用前四条公设来推证第五公设．在长达两千年的漫长岁月里，人们为“推证”第五公设，进行了不懈的努力，然而一个一个都失败了．就连法国著名数学家勒让德（Legandre，1752-1833）也不例外．最后，人们不得不承认：第五公设是必须有的，它不可能被前四个公设所推证．最富戏剧性的一幕是，匈牙利数学家博莱（F•Bolyai，1775～1856）以毕生时间试图证明第五公设可被推证而一无所获，他告诫儿子说：“不要投身于那些吞噬自己智慧、精力和心血的无底洞之中”．
就在老博莱告诫小博莱的同时，俄国数学家罗巴切夫斯基 (Лобачевский，1792-1856)在1823年写成了《虚几何学》一书．他用了另外一条平行公理：“过直线外一已知点，至少可作两条直线与已知直线平行”去替代欧氏几何的第五公设，建立了一个与欧氏几何同样严谨的新的几何学体系，这就是罗巴切夫斯基几何学，简称为罗氏几何学．
法国数学家庞斯莱（Poncelet，1788-1867）构造了一个几何模型，能帮助我们直观地了解什么是罗氏几何学．
我们把圆心在直线l上、且落在l的上半平面的半圆当成“直线”．显然，过任意两点确定一条“直线”．若两个半圆在l的上半平面没有交点，则称这两条“直线”是“平行”的．
在图1中，过“直线a”外一点P，到少可以作两条“直线”b,c与“直线a”平行．图2中的阴影部分是由A,B,C三点所确定的“三角形”，这样的“三角形”的内角和小于180°.
在罗巴切夫斯基提出罗氏几何的31年后，1854年，德国数学家黎曼（Riemann，1826-1866）发表了著名的论文“关于几何基础的假设”，针对欧氏几何和罗氏几何的平行公设，另外提出了自己的公设：“在一个平面上过直线外一点的所有直线都与这条直线相交”．并由此推出了 “三角形内角和大于180°”的结论.
黎曼的这一平行公设，继罗巴切夫斯基的平行公设之后，再一次震惊了国际数坛．1868年，也就是黎曼逝世的第三年，意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，1835-1900）给出了一个几何解释，这就是把黎曼公设里的“平面”看成是欧氏几何里的球面，如图3所示．因此过“直线”外一点都不能作“直线”平行于已知“直线”．
由黎曼建立的这一套严密的几何学，就叫做“黎曼几何学”．近代黎氏几何在广义相对理论中得到了重要的运用．不仅如此，它在现代数学的许多领域有着广泛的运用．
罗氏几何与黎氏几何，统称为非欧几何．她们同欧氏几何在一起，又被人们称为几何王国的“孪生三姐妹”，格外受到人们的青睐．
端午节
痛苦高中生的一天假期
昨天晚上看了夜场电影 自己带薯片进场好开心
意大利红烩公认最好吃
今天中午回家之后要和我弟玩switch
2020奥运会那个游戏 必须要两个手柄才能玩
所以就又去华美现买了一个手柄
（想一出是一出的 不是我的主意）
然后还玩了山羊模拟器 好好玩 无厘头很喜欢
度过了一下午百年一遇的快乐姐弟时间
痛苦高中生的一天假期
昨天晚上看了夜场电影 自己带薯片进场好开心
意大利红烩公认最好吃
今天中午回家之后要和我弟玩switch
2020奥运会那个游戏 必须要两个手柄才能玩
所以就又去华美现买了一个手柄
（想一出是一出的 不是我的主意）
然后还玩了山羊模拟器 好好玩 无厘头很喜欢
度过了一下午百年一遇的快乐姐弟时间
莫文蔚一直以来都是口碑极佳的女星，如今却发生口碑大翻车事件。原因是她在自己的新歌MV中穿了意大利品牌杜嘉班纳的服装，这件事迅速引发了热议。
受争议期间莫文蔚演唱会照样开，至今个人账号并未公开道歉，直到演唱会结束，莫文蔚才在采访时回应此事。
莫文蔚在8号发了自己的新歌MV，所以当时大家就发现她这件衣服来自之前备受争议的品牌。当时莫文蔚还把这张照片做成了头像。
时至今日，莫文蔚是杜嘉班纳事件之后国内第一个公开穿着该品牌服装的明星。但也有人说了，莫文蔚是英国籍。
演唱会结束后，莫文蔚在采访中表示自己这半年一直在忙新专辑的事，服装都是造型师在管理，所以自己并不知道衣服的品牌，还表示是自己的疏忽，觉得很内疚。能感受到诚意吗？
其实莫文蔚和意大利有很深的渊源，她高中就是在意大利读的，大学虽然是在英国上，但学的专业是意大利文学。而且莫文蔚初恋男友就是在意大利认识的，之后两人结婚，婚礼也是在意大利办的。
虽然已经道歉了，头像也换了，但是莫文蔚的态度还是被质疑的。毕竟8号就发了MV，但工作室在12日才发表道歉，莫文蔚本人至今都没有发表任何道歉的声明。直到演唱会结束，钱也赚到手了，才说一句“我好内疚”，是不是过于敷衍了？
暂且不说莫文蔚是不是真的不知道衣服品牌，单单从个人情节来说，她穿意大利品牌也是顺理成章。据说这次的演唱会是她职业生涯的最后一次巡演，演唱会的最后一场在红馆，因为衣服的事情还导致观众坐席空了一半。
不过众多明星好友并没有因为这件事就和莫文蔚划清界限，演唱会上张学友有亲自到场助阵合唱，成龙、刘德华等人更是送来鲜花。
莫文蔚的道歉估计也是为了割下一轮韭菜，你们会原谅她吗？
受争议期间莫文蔚演唱会照样开，至今个人账号并未公开道歉，直到演唱会结束，莫文蔚才在采访时回应此事。
莫文蔚在8号发了自己的新歌MV，所以当时大家就发现她这件衣服来自之前备受争议的品牌。当时莫文蔚还把这张照片做成了头像。
时至今日，莫文蔚是杜嘉班纳事件之后国内第一个公开穿着该品牌服装的明星。但也有人说了，莫文蔚是英国籍。
演唱会结束后，莫文蔚在采访中表示自己这半年一直在忙新专辑的事，服装都是造型师在管理，所以自己并不知道衣服的品牌，还表示是自己的疏忽，觉得很内疚。能感受到诚意吗？
其实莫文蔚和意大利有很深的渊源，她高中就是在意大利读的，大学虽然是在英国上，但学的专业是意大利文学。而且莫文蔚初恋男友就是在意大利认识的，之后两人结婚，婚礼也是在意大利办的。
虽然已经道歉了，头像也换了，但是莫文蔚的态度还是被质疑的。毕竟8号就发了MV，但工作室在12日才发表道歉，莫文蔚本人至今都没有发表任何道歉的声明。直到演唱会结束，钱也赚到手了，才说一句“我好内疚”，是不是过于敷衍了？
暂且不说莫文蔚是不是真的不知道衣服品牌，单单从个人情节来说，她穿意大利品牌也是顺理成章。据说这次的演唱会是她职业生涯的最后一次巡演，演唱会的最后一场在红馆，因为衣服的事情还导致观众坐席空了一半。
不过众多明星好友并没有因为这件事就和莫文蔚划清界限，演唱会上张学友有亲自到场助阵合唱，成龙、刘德华等人更是送来鲜花。
莫文蔚的道歉估计也是为了割下一轮韭菜，你们会原谅她吗？
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