蝴蝶定理之二，几何之宝
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《蝴蝶定理之一》写了她的五种典型证明，第二篇准备写一下此定理的内涵和外延。具体包括她的核心结构、等价命题、几种变式、本质理解以及其逆命题等。
已知条件中M为弦的中点本质上为EF⊥OM，这是其核心结构。其等价命题为：
四边形ACBD内接于圆O，AB交CD于M，过点M作OM垂线，交对边AC、BD于E、F，则ME=MF。
条件中垂直显然对另一对边AD、BC也是对称的，若垂线交直线AD、BC于E’、F’，则有ME’=MF’。这算是蝴蝶定理的一种变形。上述两个命题可以统一的叙述为：
1、过圆内接四边形对角线交点作连心线垂线，则被四边形对边所截的线段等长。
在这种眼光下，看到过某点的连心线的垂线就要想到尝试使用蝴蝶定理，我们在前面的文[1]第2题解法二中及其等价问题文[2]第7题的辅助线即是从此角度出发的。
进一步，圆内接完全四边形对角交点还可以在圆外，
2、如上图，圆O内接四边形ABCD中BA 交DC于M，过M作OM垂线分别交AC、BD、AD、BC于E、F、E’、F’，
则ME=MF,ME’=MF’。
这算是圆外的蝴蝶定理，证明应该和原来的证明类似。不过时移世易，图形的变化对几何的影响很大，建议读者自己尝试一下，以巩固此定理的结构。下面给出证明，因为是几何专题，本文尽量使用纯几何证法。
思路分析：按图索骥、照猫画虎，类似第一篇中的证明1、2。
证法1：设A关于OM对称点为A’，
则MA=MA'且AA'//EF,
故∠A'DF=180°-∠A'AM
=180°-∠AA'M
=180°-∠A'ME=∠A'MF,
故A'DMF共圆，
则∠FA'M=∠FDM=∠EAM,
故△FA'M△EAM(ASA),
故ME=MF。
证法2：
如上图，作OS⊥AC于S，OT⊥BD于T，
联结OE、OF、MS、MT。
由MEOS及MFOT四点共圆，得
∠MOE＝∠MSE，∠MOF＝∠MTF，
而由△AMC∽△DMB，
得∠MSA＝∠MTD，
∴ ∠MOE＝∠MOF，
由此Rt△OME≌Rt△OMF，
得ME＝MF。
注：显然上述两种证明几乎是上一篇证法1、2照搬过来的。我对此题也有深刻的印象，因为我在刚上高一时即碰到了此题，虽然我知道蝴蝶定理的证明，但是因为没有发现她们的本质联系，所以想了很久也没有做出来 。后来我虽然发现了她是蝴蝶定理，但是我希望用计算的方法，还是尝试了很久没有得到结果。所以希望读者尝试用计算的方法来解决此题。这里从略。
在上题中，若两条割线AB、CD重合，则AC、BD变成切线，得到下题
3、从圆心O作圆外任意直线XY的垂线，垂足为M，自M引割线交圆于B、A两点。
求证：过B、A的两切线与XY的交点到M点的距离ME、MF相等。
证明：由垂直得OFMB,OAEM共圆，
则∠OFB=∠OMB=∠OEA,
则△OFB△△OEA(AAS),
故OE=OF,
则ME=MF。
类似的在最开始的图中，若AB与CD重合，则得到：
4、过弦AB的中点M任作一弦CD，过C、D作圆O的切线交AB所在直线于E、F。
求证：ME＝MF。（2005年第一届北方数学奥林匹克试题）
证明：由垂直得OFDM,OCEM共圆，
则∠OEM=∠OCM=∠ODM=∠OFM,
故OE=OF,
则ME=MF。
注：显然此题和上题本质相同，但是解法略有区别，本解法更简洁。当然此方法也可以解决上题，希望读者尝试。
下面介绍一下蝴蝶定理的本质，首先要说明的是仁者见仁智者见智，对同一个问题的本质不同的人有不同的看法。
不难发现，把下图中圆内接四边形ACBD延长得到完全四边形以后，就又变成了雅克比系统（[3]中例6），从而OM⊥NT,EF//TN,
又TN,TM;TA,TC为调和线束，
由交比不变形得ME=MF,
同理ME'=MF'。
当然进一步蝴蝶定理系列的性质是圆锥曲线的笛沙格对合定理，对以上交比、调和点列等有兴趣的读者可以查阅相关资料[4]。
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《蝴蝶定理之一》写了她的五种典型证明，第二篇准备写一下此定理的内涵和外延。具体包括她的核心结构、等价命题、几种变式、本质理解以及其逆命题等。
已知条件中M为弦的中点本质上为EF⊥OM，这是其核心结构。其等价命题为：
四边形ACBD内接于圆O，AB交CD于M，过点M作OM垂线，交对边AC、BD于E、F，则ME=MF。
条件中垂直显然对另一对边AD、BC也是对称的，若垂线交直线AD、BC于E’、F’，则有ME’=MF’。这算是蝴蝶定理的一种变形。上述两个命题可以统一的叙述为：
1、过圆内接四边形对角线交点作连心线垂线，则被四边形对边所截的线段等长。
在这种眼光下，看到过某点的连心线的垂线就要想到尝试使用蝴蝶定理，我们在前面的文[1]第2题解法二中及其等价问题文[2]第7题的辅助线即是从此角度出发的。
进一步，圆内接完全四边形对角交点还可以在圆外，
2、如上图，圆O内接四边形ABCD中BA 交DC于M，过M作OM垂线分别交AC、BD、AD、BC于E、F、E’、F’，
则ME=MF,ME’=MF’。
这算是圆外的蝴蝶定理，证明应该和原来的证明类似。不过时移世易，图形的变化对几何的影响很大，建议读者自己尝试一下，以巩固此定理的结构。下面给出证明，因为是几何专题，本文尽量使用纯几何证法。
思路分析：按图索骥、照猫画虎，类似第一篇中的证明1、2。
证法1：设A关于OM对称点为A’，
则MA=MA'且AA'//EF,
故∠A'DF=180°-∠A'AM
=180°-∠AA'M
=180°-∠A'ME=∠A'MF,
故A'DMF共圆，
则∠FA'M=∠FDM=∠EAM,
故△FA'M△EAM(ASA),
故ME=MF。
证法2：
如上图，作OS⊥AC于S，OT⊥BD于T，
联结OE、OF、MS、MT。
由MEOS及MFOT四点共圆，得
∠MOE＝∠MSE，∠MOF＝∠MTF，
而由△AMC∽△DMB，
得∠MSA＝∠MTD，
∴ ∠MOE＝∠MOF，
由此Rt△OME≌Rt△OMF，
得ME＝MF。
注：显然上述两种证明几乎是上一篇证法1、2照搬过来的。我对此题也有深刻的印象，因为我在刚上高一时即碰到了此题，虽然我知道蝴蝶定理的证明，但是因为没有发现她们的本质联系，所以想了很久也没有做出来 。后来我虽然发现了她是蝴蝶定理，但是我希望用计算的方法，还是尝试了很久没有得到结果。所以希望读者尝试用计算的方法来解决此题。这里从略。
在上题中，若两条割线AB、CD重合，则AC、BD变成切线，得到下题
3、从圆心O作圆外任意直线XY的垂线，垂足为M，自M引割线交圆于B、A两点。
求证：过B、A的两切线与XY的交点到M点的距离ME、MF相等。
证明：由垂直得OFMB,OAEM共圆，
则∠OFB=∠OMB=∠OEA,
则△OFB△△OEA(AAS),
故OE=OF,
则ME=MF。
类似的在最开始的图中，若AB与CD重合，则得到：
4、过弦AB的中点M任作一弦CD，过C、D作圆O的切线交AB所在直线于E、F。
求证：ME＝MF。（2005年第一届北方数学奥林匹克试题）
证明：由垂直得OFDM,OCEM共圆，
则∠OEM=∠OCM=∠ODM=∠OFM,
故OE=OF,
则ME=MF。
注：显然此题和上题本质相同，但是解法略有区别，本解法更简洁。当然此方法也可以解决上题，希望读者尝试。
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设备齐全，需要加微信联系，TC9507。
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南方那个小村庄经邓设计师画了个⭕️之后化身大都市了（这个⭕️画的厉害了，手动点赞），这几天一直下雨没怎么逛，没带通行证也没能去河对岸看看，下次，为了河对岸的观光浏览，我一定会再来的[二哈]
另外我这哪的口音？一听就知道我北方人还差不多，可竟然有人问我是不北京的，是不大连的，我河南人呀，地地道道的河蓝银好吗，你们这听力有点不行呀[摊手]
有意思，虽没面到最后，收益也颇为丰盛，认识那么多小伙伴（南方银说话实在是太嗲了，包括蓝僧，更加凸显了我……），和ＴＣ也有了不限于微信Q的近距离接触，吃了客家菜（尽管那味道实在不适合我这糙老爷们儿），大街小巷的听不懂的粤语对话，就是住在南航公司附近每天看空姐空少上下班却没遇到合适的帅帅的空少[doge]最后的最后约车来机场遇到一同行的东北银儿，逗的一批（果然不负轻工业快手这一美誉[笑cry]）
路还很长，背影要美，加油，为了河对岸，为了再次感受，为了更好的未来，要努力呀[加油] https://t.cn/RO7eCHf
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