逆向思维突破函数图象旋转难题
在几何综合题中，遇到旋转变换实属正常，然而，将反比例函数或二次函数图象旋转之后，再进行相关计算或证明，看似超出了初中范畴，但是，若在限定条件下，例如旋转角为特殊角，利用初中阶段的知识，完全能够求解，当然，难度相应的也不低。起码图象就不好画，怎么办呢？
题目
如图1，在平面直角坐标系中有三点A(2,4),B(3,5),P(a,a)，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得到CD，其中A，B对应点分别为C，D
(1)当a=2时
①在图1中画出线段CD，保留作图痕迹，并直接写出C，D两点的坐标；
②将线段CD向上平移m个单位，点C，D恰好同时落在反比例函数y=k/x的图象上，求m和k的值；
(2)若a=4，将函数y=k/x（x>0）的图象绕点P顺时针旋转90°得到新图象，直线AB与新图象的交点为E，F，则EF的长为________（直接写出结果）。
解析：
(1)①按要求作图，P为旋转中心，依次连接AP和BP，然后过点P分别作它们的垂线，再截取PC=PA，PD=PB即可，如下图2：
由于是直接写出结果，因此可以采用稍加“快捷”的方法。AP=CP=2，且PC与x轴平行，于是C(4,2)，比较A与B的坐标，发现横纵坐标分别+1，于是对应的C与D的坐标，横坐标+1纵坐标-1，即可得到D(5,1)；
②将上述C，D向上平移m个单位后，分别为C(4,2+m)，D(5,1+m)，它们均在反比例函数图象上，于是它们横纵坐标之积相等，得到4(2+m)=5(1+m)，解得m=3，最后求得k=20；
(2)将双曲线绕点P(4,4)旋转，这个作图难度就不小，即使侥幸作出精确的图形，旋转后的解析式已经超出了初中理解的范畴，如果顺着题目的叙述去思维，已经走入了死胡同。破解的办法就是逆向思维，顺时针旋转双曲线，AB不动，和逆时针旋转AB，双曲线不同，效果是一样的。基于这个思考，我们将AB绕点P逆时针旋转90°，如下图3：
借助第①问的方法，我们很容易得到A'(4,2)和B'(3,3)，这样便可求出A'B'的解析式为y=-x+6，再和反比例函数y=4/x联立，可求出交点E，F的横坐标，分别为3+2√5的3-2√5，同时EF与x轴夹角为45°，可构造等腰直角三角形，利用边长关系来求EF=2√10，当然，利用根与系数的关系同样可求出EF=2√10，实在不会变通的，求出它们的纵坐标后再用两点间距离公式也行。
解题反思
如何想到逆向思维？肯定是正向思维遇到无法解决的障碍了，同时，这个所谓无法解决，是真的无法解决，而不是由于个人能力问题导致的无法解决。如果这一点判断失误，即使想到了逆向思维，最终仍然不得要领。
将函数图象进行旋转，哪怕是特殊角90°，依然不是初中生能精确作图的，没有图，再好的思路也出不来。同时，旋转后的函数图象，其解析式也是初中生无法解决的，正由于这两个因素，导致问题无法解决，所以旋转函数图象，遇到了无法克服的障碍。
好在这道题目是相对运动，函数动，直线AB不动，既然函数不能动，那么只好直线AB动，而且要反方向动，因此才想到将直线AB绕点P逆时针旋转90°，剩下的问题就简单多了。
逆向思维，一窍难得。 https://t.cn/zQ1HyUv

昨日研究成果：可能是史上最难的中考数学小题——2016天津18题网格作图题。之所以说最难，不仅仅让人做不出（容易做到），而且让人看着答案也看不懂。最大难点：P，Q位置的确定，以及证明PQ⊥BC。我学了两种任意三角形作AP=PQ=QB尺规作图的方法，但对此题无用，因为是确定图形加上没有圆规。我查阅了百度能搜到的一些此题解析文章（见图2图3），基本都是建系设双未知数勾股解方程来确定，过于麻烦（虽然足够精确而且理直气壮不是靠猜），对学生来说，基本没有实用价值。参考一些有用的思路，我发现了一个单未知数单方程确定位置和垂直的方法（A点、B点、1:2是关键点，后来发现文章中间有类似做法，遗憾的是没有发现纯粹的几何法，大概因为原题中的垂直来自刻意的数据带来的巧合，本质可看成弦图全等或者中点型一线三等角相似但无法证明），在此基础上用几何性质解释标准答案的做法就非常easy，无需坐标系、进一步的计算与刻意的构造了。

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作图ap是mindnode。
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这些问题私信不会回答了。
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