#奇门遁甲# 《烟波钓叟歌》
阴阳顺逆妙难穷，二至还归一九宫，若能了达阴阳理，天地都在一掌中，（大体概括）
轩辕黄帝战蚩尤，涿鹿经年苦未休，偶梦天神授符诀，登坛致祭谨虔修，（传说时期）
神龙负图岀洛水，彩凤衔书碧云里，因命风后演成文，遁甲奇门从此始，（梦境时事）
一千八十当时制，太公删成七十二，逮于汉代张子房，一十八局为精艺，（历史时期）
先须掌上排九宫，纵横十五在其中，次将八卦分八节，一气统三为正宗，（宫卦节气）
阴阳二遁分顺逆，一气三元人莫测，五日都来换一元，接气超神为准则，（接气超神）
认取九宫分九星，八门又逐九宫行，九宫逢甲为值符，八门值使自分明，（九星八门）
符上之门为值使，十时一易堪凭据，值符常遣加时干，值使顺逆遁宫去，（星门排法）
六甲元号六仪名，三奇即是乙丙丁，阳遁顺仪奇逆布，阴遁逆仪奇顺行，（奇仪排法）
吉门偶尔合三奇，值此经云百事宜，更合从傍加检点，余宫不可有微疵，（门奇合宜）
三奇得使诚堪使，六甲遇之非小补，乙逢犬马丙鼠猴，六丁玉女骑龙虎，（三奇得使）
又有三奇游六仪，号为玉女守门扉，若作阴私和合事，请君但向此中推，（奇游六仪）
天三门兮地四户，问君此法如何处，太冲小吉与从魁，此是天门私出路，（天门地户）
地户除危定与开，举事皆从此中去，六合太阴太常君，三辰元是地私门，（三地私门）
更得奇门相照耀，岀行百事总欣欣，太冲天马最为贵，猝然有难宜逃避，（太冲天马）
但能乘驭天马行，剑戟如山不足畏，三为生气五为死，胜在三兮衰在五，（三吉五凶）
能识游三避五时，造化真机须记取，就中伏吟为最凶，天蓬加临地天蓬，（星反伏吟）
天蓬若到天英上，须知即是反吟宫，八门反伏皆如此，生在生兮死在死，（门反伏吟）
就是凶宿得奇门，万事皆凶不堪使，六仪击刑何太凶，甲子直符愁向东，（六仪击刑）
戌刑未上申刑虎，寅巳辰辰午刑午，三奇入墓宜细推，甲日那堪入坤宫，（甲入坤宫）
丙奇属火火墓戌，此时诸事不宜为，更兼六乙来临二，丁奇临八亦同论，（三奇入墓）
又有时干入墓宫，课中时下忌相逢，戊戌壬辰兼丙戌，癸未丁丑亦同凶，（时干入墓）
五不遇时龙不精，号为日月损光明，时干来克日干上，甲日须知时忌庚，（五不遇时）
奇与门兮共太阴，三般难得共加临，若还得二亦为吉，举措行藏必遂心，（奇门神吉）
更得值符直使利，兵家用事最为贵，常从此地击其冲，百战百胜君须记，（星门击冲）
天乙之神所在宫，大将宜居击对冲，假令值符居离位，天英坐取击天蓬，（天乙击冲）
甲乙丙丁戊阳时，神人天上报君知，坐击须凭天上奇，阴时地下亦如此，（阴阳干时）
若见三奇在五阳，偏宜为客是高强，忽然逢着五阴位，又宜为主好裁详，（阴阳三奇）
值符前三六合位，太阴之神在前二，后一宫中为九天，后二之神为九地，（八神排布）
九天之上好扬兵，九地潜藏可立营，伏兵但向太阴位，若逢六合利逃形，（八神宜忌）
天地人分三遁名，天遁日精华盖临，地遁月精紫云蔽，人遁当知是太阴，（首要三遁）
生门六丙合六丁，此为天遁自分明，开门六乙合六己，地遁如斯而已矣，（三遁组合）
休门六丁共太阴，欲求人遁无过此，要知三遁何所宜，藏形遁迹斯为美，（三遁宜忌）
庚为太白丙荧惑，庚丙相加谁会得，六庚加丙白入荧，六丙加庚荧入白，（庚丙丙庚）
白入荧兮贼即来，荧入白兮贼即去，丙为悖兮庚为格，格则不通悖乱逆，（丙悖庚格）
天丙加地庚为勃，天庚加地癸为格，丙加天乙为伏逆，天乙加丙为飞悖，（伏逆飞悖）
庚加日干为伏干，日干加庚飞干格，加一宫兮战在野，同一宫兮战于国，（伏干飞干）
庚加值符天乙伏，值符加庚天乙飞，庚加癸兮为大格，加己为刑最不宜，（伏飞格刑）
加壬之时为上格，又嫌年月日时逢，更有一般奇格者，六庚谨勿加三奇，（上格奇格）
此时若也行兵去，匹马只轮无返期，六癸加丁蛇夭蹻，六丁加癸雀投江，（癸丁丁癸）
六乙加辛龙逃走，六辛加乙虎猖狂，请观四者是凶神，百事逢之莫措手，（四神凶格）
丙加甲兮鸟跌穴，甲加丙兮龙返首，只此二者是吉神，为事如意十八九，（丙甲吉神）
八门若遇开休生，诸事逢之皆称情，伤宜捕猎终须获，杜好邀遮及隐形，（吉门称情）
景上投书并破阵，惊能擒讼有声名，若问死门何所主，只宜吊死与行刑，（八门所宜）
蓬任冲辅禽阳星，英芮柱心阴宿名，辅禽心星为上吉，冲任小吉未全亨，（阴阳吉星）
大凶蓬芮不堪使，小凶英柱不精明，小凶无气变为吉，大凶无气却平平，（凶星转化）
吉宿更能逢旺相，万举万全必成功，若遇休囚并废没，劝君不必走前程，（九星旺衰）
要识九星配五行，须求八卦考羲经，坎蓬水星离英火，中宫坤艮土为营，（九星五行）
干兑为金震巽木，旺相休囚看重轻，与我同行即为相，我生之月诚为旺，（旺相休囚）
废于父母休于财，囚于鬼兮真不妄，假令水宿号天蓬，相在初冬与仲冬，（天蓬旺相）
旺于正二休四五，其余仿此自研穷，急则从神缓从门，三五反复天道亨，（神门三五）
十干加伏若加错，入墓休囚吉事危，十精为使用为贵，起宫天乙用无遗，（十干十精）
天目为客地耳主，六甲推兮无差理，劝君莫失此玄机，洞彻九宫辅明主，（天客地主）
宫制其门不为迫，门制其宫是迫雄，天网四张无走路，一二网低有路踪，（宫门天网）
三至四宫难回避，八九高张任西东，节气推移时候定，阴阳顺逆要精通，（三四八九）
三元积数成六纪，天地未成有一理，请观歌里真妙诀，非是真贤莫传与。（三元六纪）
——————《烟波钓叟歌》【白话译释】完整版
阳遁顺布六仪而逆布三奇， 阴遁逆布六仪而顺布三奇，其中的玄妙是很难说清楚的:从冬至和夏至分别向坎一宫和离九宫开始布六仪。
<阳遁顺仪逆奇布，阴遁逆仪顺奇排。冬至坎一起布仪，夏至离九始布仪。（阴阳顺逆布九干，冬坎夏离布六仪）>
如果能够透彻地了解阴阳互转的规律，那么天地万物发展、变化的情形就能够分布在手掌之上，进行推演。
————————#奇门遁甲# https://t.cn/z8A5mFf
阴阳顺逆妙难穷，二至还归一九宫，若能了达阴阳理，天地都在一掌中，（大体概括）
轩辕黄帝战蚩尤，涿鹿经年苦未休，偶梦天神授符诀，登坛致祭谨虔修，（传说时期）
神龙负图岀洛水，彩凤衔书碧云里，因命风后演成文，遁甲奇门从此始，（梦境时事）
一千八十当时制，太公删成七十二，逮于汉代张子房，一十八局为精艺，（历史时期）
先须掌上排九宫，纵横十五在其中，次将八卦分八节，一气统三为正宗，（宫卦节气）
阴阳二遁分顺逆，一气三元人莫测，五日都来换一元，接气超神为准则，（接气超神）
认取九宫分九星，八门又逐九宫行，九宫逢甲为值符，八门值使自分明，（九星八门）
符上之门为值使，十时一易堪凭据，值符常遣加时干，值使顺逆遁宫去，（星门排法）
六甲元号六仪名，三奇即是乙丙丁，阳遁顺仪奇逆布，阴遁逆仪奇顺行，（奇仪排法）
吉门偶尔合三奇，值此经云百事宜，更合从傍加检点，余宫不可有微疵，（门奇合宜）
三奇得使诚堪使，六甲遇之非小补，乙逢犬马丙鼠猴，六丁玉女骑龙虎，（三奇得使）
又有三奇游六仪，号为玉女守门扉，若作阴私和合事，请君但向此中推，（奇游六仪）
天三门兮地四户，问君此法如何处，太冲小吉与从魁，此是天门私出路，（天门地户）
地户除危定与开，举事皆从此中去，六合太阴太常君，三辰元是地私门，（三地私门）
更得奇门相照耀，岀行百事总欣欣，太冲天马最为贵，猝然有难宜逃避，（太冲天马）
但能乘驭天马行，剑戟如山不足畏，三为生气五为死，胜在三兮衰在五，（三吉五凶）
能识游三避五时，造化真机须记取，就中伏吟为最凶，天蓬加临地天蓬，（星反伏吟）
天蓬若到天英上，须知即是反吟宫，八门反伏皆如此，生在生兮死在死，（门反伏吟）
就是凶宿得奇门，万事皆凶不堪使，六仪击刑何太凶，甲子直符愁向东，（六仪击刑）
戌刑未上申刑虎，寅巳辰辰午刑午，三奇入墓宜细推，甲日那堪入坤宫，（甲入坤宫）
丙奇属火火墓戌，此时诸事不宜为，更兼六乙来临二，丁奇临八亦同论，（三奇入墓）
又有时干入墓宫，课中时下忌相逢，戊戌壬辰兼丙戌，癸未丁丑亦同凶，（时干入墓）
五不遇时龙不精，号为日月损光明，时干来克日干上，甲日须知时忌庚，（五不遇时）
奇与门兮共太阴，三般难得共加临，若还得二亦为吉，举措行藏必遂心，（奇门神吉）
更得值符直使利，兵家用事最为贵，常从此地击其冲，百战百胜君须记，（星门击冲）
天乙之神所在宫，大将宜居击对冲，假令值符居离位，天英坐取击天蓬，（天乙击冲）
甲乙丙丁戊阳时，神人天上报君知，坐击须凭天上奇，阴时地下亦如此，（阴阳干时）
若见三奇在五阳，偏宜为客是高强，忽然逢着五阴位，又宜为主好裁详，（阴阳三奇）
值符前三六合位，太阴之神在前二，后一宫中为九天，后二之神为九地，（八神排布）
九天之上好扬兵，九地潜藏可立营，伏兵但向太阴位，若逢六合利逃形，（八神宜忌）
天地人分三遁名，天遁日精华盖临，地遁月精紫云蔽，人遁当知是太阴，（首要三遁）
生门六丙合六丁，此为天遁自分明，开门六乙合六己，地遁如斯而已矣，（三遁组合）
休门六丁共太阴，欲求人遁无过此，要知三遁何所宜，藏形遁迹斯为美，（三遁宜忌）
庚为太白丙荧惑，庚丙相加谁会得，六庚加丙白入荧，六丙加庚荧入白，（庚丙丙庚）
白入荧兮贼即来，荧入白兮贼即去，丙为悖兮庚为格，格则不通悖乱逆，（丙悖庚格）
天丙加地庚为勃，天庚加地癸为格，丙加天乙为伏逆，天乙加丙为飞悖，（伏逆飞悖）
庚加日干为伏干，日干加庚飞干格，加一宫兮战在野，同一宫兮战于国，（伏干飞干）
庚加值符天乙伏，值符加庚天乙飞，庚加癸兮为大格，加己为刑最不宜，（伏飞格刑）
加壬之时为上格，又嫌年月日时逢，更有一般奇格者，六庚谨勿加三奇，（上格奇格）
此时若也行兵去，匹马只轮无返期，六癸加丁蛇夭蹻，六丁加癸雀投江，（癸丁丁癸）
六乙加辛龙逃走，六辛加乙虎猖狂，请观四者是凶神，百事逢之莫措手，（四神凶格）
丙加甲兮鸟跌穴，甲加丙兮龙返首，只此二者是吉神，为事如意十八九，（丙甲吉神）
八门若遇开休生，诸事逢之皆称情，伤宜捕猎终须获，杜好邀遮及隐形，（吉门称情）
景上投书并破阵，惊能擒讼有声名，若问死门何所主，只宜吊死与行刑，（八门所宜）
蓬任冲辅禽阳星，英芮柱心阴宿名，辅禽心星为上吉，冲任小吉未全亨，（阴阳吉星）
大凶蓬芮不堪使，小凶英柱不精明，小凶无气变为吉，大凶无气却平平，（凶星转化）
吉宿更能逢旺相，万举万全必成功，若遇休囚并废没，劝君不必走前程，（九星旺衰）
要识九星配五行，须求八卦考羲经，坎蓬水星离英火，中宫坤艮土为营，（九星五行）
干兑为金震巽木，旺相休囚看重轻，与我同行即为相，我生之月诚为旺，（旺相休囚）
废于父母休于财，囚于鬼兮真不妄，假令水宿号天蓬，相在初冬与仲冬，（天蓬旺相）
旺于正二休四五，其余仿此自研穷，急则从神缓从门，三五反复天道亨，（神门三五）
十干加伏若加错，入墓休囚吉事危，十精为使用为贵，起宫天乙用无遗，（十干十精）
天目为客地耳主，六甲推兮无差理，劝君莫失此玄机，洞彻九宫辅明主，（天客地主）
宫制其门不为迫，门制其宫是迫雄，天网四张无走路，一二网低有路踪，（宫门天网）
三至四宫难回避，八九高张任西东，节气推移时候定，阴阳顺逆要精通，（三四八九）
三元积数成六纪，天地未成有一理，请观歌里真妙诀，非是真贤莫传与。（三元六纪）
——————《烟波钓叟歌》【白话译释】完整版
阳遁顺布六仪而逆布三奇， 阴遁逆布六仪而顺布三奇，其中的玄妙是很难说清楚的:从冬至和夏至分别向坎一宫和离九宫开始布六仪。
<阳遁顺仪逆奇布，阴遁逆仪顺奇排。冬至坎一起布仪，夏至离九始布仪。（阴阳顺逆布九干，冬坎夏离布六仪）>
如果能够透彻地了解阴阳互转的规律，那么天地万物发展、变化的情形就能够分布在手掌之上，进行推演。
————————#奇门遁甲# https://t.cn/z8A5mFf
上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
天上天下無如佛 十方世界亦無比
世間所有我盡見 一切無有如佛者
農曆十二月八日是釋迦牟尼佛成道日，亦名臘八節，紀念釋迦牟尼佛在菩提樹下悟道成佛的節日。
臘八節即仿牧羊女供乳糜供佛的典故，該日以諸果品、五穀煮粥，俗稱為臘八粥，並以粥供佛後，分送給信眾，同沾佛陀成道的吉祥氣息。
釋迦漢譯能仁，能以仁愛的心來憫念眾生，也就是佛教所說的大慈大悲心。這就是佛所具足的悲德。
牟尼漢譯為寂默，是指佛在因地修行的時候，以自己心中本具的智慧光明，迴光返照，斷除煩惱，智慧圓滿，這就是佛所具足的智德。
佛具足能仁寂默，自利利他的智德與悲德，所以他的名字就叫做釋迦牟尼佛。
大約在兩千五百多年前的一個四月初八日，釋迦牟尼佛(佛陀)在印度迦毗羅城的釋迦族中誕生。該城的國王淨飯王，也就是佛陀的父親，摩耶夫人為佛陀的母親；該城位在今天的尼泊爾南境。
摩耶夫人四十四歲時，誕生太子─悉達多王子。悉達多太子誕生時有種種瑞相。長大後不但是文章蓋世，而且是武藝超群。
悉達多太子在十七歲的時候，淨飯王就為他選擇了一個德貌雙全的女子，名叫耶輸陀羅與他結婚，但是太子多生多世勤修戒定慧三學，息滅貪瞋癡三毒，所以他雖然身處塵勞之中，心常清淨無染，真是和蓮華一樣，生在污泥之中，而不染汙。
到了十九歲時候悉達多太子想知道一般老百姓的生活是怎樣的情形，是以出城郊遊，遊了四門後，見到人生中，生、老、病、死的慘狀，於是發心離宮出家求道。
到了二月初八的深夜裏，太子半夜裏飛出王宮。出了北門，回顧巍峨的宮城，發誓說：我若不能求得正覺，度眾生離生死海，誓不再回迦毗羅城。
悉達多太子，經過五載參訪和六年苦修，都沒有找到宇宙人生的真理。如仍受到生、老、病、死的束縛，不能算是離苦得樂的真實覺道。
於是太子決定放棄苦行，前往菩提伽耶附近的尼連禪河畔，準備讓清淨的流水，先洗去身上的積垢，再從事心理的清潔。
因為太子的身體經過長時間的苦行後，已非常虛弱了，當浴罷起身的時候，竟因過分的疲勞而倒在尼連禪河的沙灘上。
幸而碰上二位叫做難陀和波羅的牧羊女正巧路過，供養乳糜，太子因而恢復了氣力。渡過尼連禪河，走到伽耶山旁，獨自端坐於菩提樹下，思維解脫之道，並誓言：不成佛道，不起此座。
悉達多這種驚天動地的誓言，當時大地六種震動起來。頓時天搖地動，連天上第六層寄居天的波旬魔王宮殿，也震動得非常厲害。魔王有神通，用天眼一看，知道悉達多太子在對菩提寶座發出誓願要決定成佛。因此心生瞋恨，堅決要去破壞，他先派了三個魔女，用種種媚態來惱亂迷惑太子，但太子不但不為魔女所動，反而令魔女對佛懺悔，求佛慈悲救度。
波旬魔王知道他的魔女美人計失敗之後，心裏更加忿怒，就親自帶領許多魔兵魔將，用刀槍劍戟種種武器，前來興師問罪。
太子再次顯神力，以手指著波旬魔王說：我過去久遠劫來，廣修功德，供養無量諸佛聖賢，福德智慧不可思議，並不是波旬你的魔力所能摧毀的。
話音落地，只聽到一聲巨響，煞時間魔王就應聲倒在地上，如癡如醉。
其他魔王魔兵看到這種可怕情景，都一齊跪了下來，誠誠懇懇地對佛哀求懺悔，愍念彼等癡昧無知。
佛心是慈悲仁愛，看到魔王父女既知改惡從善，當下就使他們恢復了健康。端正了容貌。
佛是大慈大悲，普度眾生，而又是大雄大力，降伏魔怨。所以寺廟裏的佛殿，就叫大雄寶殿。
釋迦牟尼佛在菩提樹下，打坐入定，精進修行。所修的內容，就是把自己心中本具的智慧光明，來個迴光返照，徹悟心源。
就是寂而常照，照而常寂，靈光獨耀，湛寂澄清的境界。
正像寒潭清水，皓月當空那樣惺惺寂寂，寂寂惺惺。寒潭清水，是寂靜無波，就是寂而常照的境界。
皓月當空，天上一輪月，清光皎潔，當空普照，這就是照而常寂的境界。
佛經過六年的修行，終於把心中的粗塵細垢，妄想執著，滅得一乾二淨。
到了煩惱斷盡，智慧圓滿的時刻，把心中的黑暗完全消滅了，心中的智慧光明，完全顯現出來了。
定境現前，機緣成熟，因此就在三十歲那年的十二月初八日半夜裏，看到天上一顆明星出現，觸景會心，剎那之間頓然大悟，隨云：
奇哉！奇哉！眾生本具如來智慧德相，但因妄想執著而不能證得。
世間所有我盡見 一切無有如佛者
農曆十二月八日是釋迦牟尼佛成道日，亦名臘八節，紀念釋迦牟尼佛在菩提樹下悟道成佛的節日。
臘八節即仿牧羊女供乳糜供佛的典故，該日以諸果品、五穀煮粥，俗稱為臘八粥，並以粥供佛後，分送給信眾，同沾佛陀成道的吉祥氣息。
釋迦漢譯能仁，能以仁愛的心來憫念眾生，也就是佛教所說的大慈大悲心。這就是佛所具足的悲德。
牟尼漢譯為寂默，是指佛在因地修行的時候，以自己心中本具的智慧光明，迴光返照，斷除煩惱，智慧圓滿，這就是佛所具足的智德。
佛具足能仁寂默，自利利他的智德與悲德，所以他的名字就叫做釋迦牟尼佛。
大約在兩千五百多年前的一個四月初八日，釋迦牟尼佛(佛陀)在印度迦毗羅城的釋迦族中誕生。該城的國王淨飯王，也就是佛陀的父親，摩耶夫人為佛陀的母親；該城位在今天的尼泊爾南境。
摩耶夫人四十四歲時，誕生太子─悉達多王子。悉達多太子誕生時有種種瑞相。長大後不但是文章蓋世，而且是武藝超群。
悉達多太子在十七歲的時候，淨飯王就為他選擇了一個德貌雙全的女子，名叫耶輸陀羅與他結婚，但是太子多生多世勤修戒定慧三學，息滅貪瞋癡三毒，所以他雖然身處塵勞之中，心常清淨無染，真是和蓮華一樣，生在污泥之中，而不染汙。
到了十九歲時候悉達多太子想知道一般老百姓的生活是怎樣的情形，是以出城郊遊，遊了四門後，見到人生中，生、老、病、死的慘狀，於是發心離宮出家求道。
到了二月初八的深夜裏，太子半夜裏飛出王宮。出了北門，回顧巍峨的宮城，發誓說：我若不能求得正覺，度眾生離生死海，誓不再回迦毗羅城。
悉達多太子，經過五載參訪和六年苦修，都沒有找到宇宙人生的真理。如仍受到生、老、病、死的束縛，不能算是離苦得樂的真實覺道。
於是太子決定放棄苦行，前往菩提伽耶附近的尼連禪河畔，準備讓清淨的流水，先洗去身上的積垢，再從事心理的清潔。
因為太子的身體經過長時間的苦行後，已非常虛弱了，當浴罷起身的時候，竟因過分的疲勞而倒在尼連禪河的沙灘上。
幸而碰上二位叫做難陀和波羅的牧羊女正巧路過，供養乳糜，太子因而恢復了氣力。渡過尼連禪河，走到伽耶山旁，獨自端坐於菩提樹下，思維解脫之道，並誓言：不成佛道，不起此座。
悉達多這種驚天動地的誓言，當時大地六種震動起來。頓時天搖地動，連天上第六層寄居天的波旬魔王宮殿，也震動得非常厲害。魔王有神通，用天眼一看，知道悉達多太子在對菩提寶座發出誓願要決定成佛。因此心生瞋恨，堅決要去破壞，他先派了三個魔女，用種種媚態來惱亂迷惑太子，但太子不但不為魔女所動，反而令魔女對佛懺悔，求佛慈悲救度。
波旬魔王知道他的魔女美人計失敗之後，心裏更加忿怒，就親自帶領許多魔兵魔將，用刀槍劍戟種種武器，前來興師問罪。
太子再次顯神力，以手指著波旬魔王說：我過去久遠劫來，廣修功德，供養無量諸佛聖賢，福德智慧不可思議，並不是波旬你的魔力所能摧毀的。
話音落地，只聽到一聲巨響，煞時間魔王就應聲倒在地上，如癡如醉。
其他魔王魔兵看到這種可怕情景，都一齊跪了下來，誠誠懇懇地對佛哀求懺悔，愍念彼等癡昧無知。
佛心是慈悲仁愛，看到魔王父女既知改惡從善，當下就使他們恢復了健康。端正了容貌。
佛是大慈大悲，普度眾生，而又是大雄大力，降伏魔怨。所以寺廟裏的佛殿，就叫大雄寶殿。
釋迦牟尼佛在菩提樹下，打坐入定，精進修行。所修的內容，就是把自己心中本具的智慧光明，來個迴光返照，徹悟心源。
就是寂而常照，照而常寂，靈光獨耀，湛寂澄清的境界。
正像寒潭清水，皓月當空那樣惺惺寂寂，寂寂惺惺。寒潭清水，是寂靜無波，就是寂而常照的境界。
皓月當空，天上一輪月，清光皎潔，當空普照，這就是照而常寂的境界。
佛經過六年的修行，終於把心中的粗塵細垢，妄想執著，滅得一乾二淨。
到了煩惱斷盡，智慧圓滿的時刻，把心中的黑暗完全消滅了，心中的智慧光明，完全顯現出來了。
定境現前，機緣成熟，因此就在三十歲那年的十二月初八日半夜裏，看到天上一顆明星出現，觸景會心，剎那之間頓然大悟，隨云：
奇哉！奇哉！眾生本具如來智慧德相，但因妄想執著而不能證得。
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