两线段加权和的最值
大罕

两线段加权和用字母表达就是 PA+k•PB，求其最值这类题目在中考里常见，如果掌握不好也是难点．

解决这类问题的关键，是把k•PB转化为一条合适的线段．我们先看三个例子：

例1、（2019年长沙中考题）如图1，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+(√5/5)BD的最小值．

分析：关键是把(√5/5)BD换成一条合适的线段．

考虑到tanA=2，△ABE三边之比为1∶2∶√5，故sin∠ABE=√5/5，故过D作DH′⊥AB于点H′，则DH′=(√5/5)BD，故应求CD+ DH′的最小值，此时只需C、D、H′三点共线.

解：过C作CH⊥AB于H，则CH为所求最小值.
∵BE=ABsinA=10•(2/√5)= 4√5，
∴CH=BE= 4√5. ，即最小值为4√5.

例2、（2019年南通中考题）如图2，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+(√3/2)PD的最小值为多少？

分析：关键是把(√3/2)PD换成一条合适的线段．由sin∠DAB＝sin60°=√3/2，故过P作PH′⊥AD的延长线于H′，则PH′=(√3/2)PD，故应求BP+PH′的最小值，此时只需B、P、H′三点共线.

解：过B作BH⊥AD于H，则BH为所求最小值.
在△BHC中，BH=ABsinA=6•(√3/2)= 3√3，即最小值为3√3.

例3、如图3，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB＝2，求AP+BP+CP的最小值.

分析：AP+BP+CP=2AP+BP=2[AP+(1/2)BP]．关键是把(1/2)BP换成一条合适的线段．

过点B作射线BE，使得∠DBE=30°，过P作PH′⊥BE于 H′，则PH′=(1/2)PB，故应求AP+PH′的最小值，此时只需A、P、H′三点共线.

解：过A作AH⊥AE于H，则AH为所求最小值.
在△ABH中，AH=AB•sin∠ABE=2sin75°=(√2+√6)/2.

(注：用到了sin75°=(√2+√6)/4．也可以直接算出AE，利用等面积法.)

从以上例子来看，处理两线段加权和即“PA+k•PB”型问题的关键，就是把加权转化成不加权，也就是把k化为1，往往是利用正弦函数作为杠杆．

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同角三角函数的关系：

1）tanA=a/b=(a/c)/(b/c)=sinA/cosA.

2）cotA=1/tanA.

3）secA=1/cosA.

4）cosA=1/sinA.

5）sin²A+cos²A=a²/c²+b²/c²=(a²+b²)/c²=1.

Tips：sin²A=(sinA)²，

sinA²=sin(A²).

由【5】，sin²A+cos²A=1，则有：

6）sin²A/cos²A+1=1/cos²A，即tan²A+1=sec²A.

7）cos²A/sin²A+1=1/sin²A，即cot²A+1=csc²A.

锐角三角函数：
Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，CA=b。
六个三角函数名：

正弦（sine）：sin

余弦（cosine）：cos

正切（tangent）：tan/tg

余切（cotangent）：cot/ctg

正割（secant）：sec

余割（cosecant）：csc
∠A的正弦值：sinA=a/c（∠A的对边比斜边）
∠A的余弦值：cosA=b/c（∠A的邻边比斜边）
∠A的正切值：tanA=a/b（∠A的对边比邻边）
∠A的余切值：cotA=b/a（∠A的邻边比对边）
∠A的正割值：secA=c/b（∠A的对边比邻边）
∠A的正割值：cscA=c/a（∠A的对边比邻边）
Tips：把锐角A放在一个Rt△里，三边的比值即为三角函数值。
A一定，这些比值就确定了。