【威士忌漫谈——流言终结者】
【衰退？什么衰退？——苏格兰威士忌迎来全球增长】
苏格兰威士忌的出口自2013年以来持续下滑，但是2016年上半年的统计数据表明这种下跌趋势似乎终于得到了遏制，出口量增长了3%，出口额则有所下降，但降幅仅为1%。而出口总量为5.31亿瓶。北美的消费量有所下降，但是消费额增加了，而欧洲（最大的消费国是法国）市场开始回暖。亚洲市场过去几年一直不景气，但现在好像也开始重回增长轨道——进口量增长了13%，进口额也有小幅增加。新加坡（实际上相当于进入中国市场的门户）进口量增长了15%，进口额增加了8%，日本也出现了复苏迹象（进口量增长了20%，进口额增加了3%），但亚洲市场的上升趋势主要还是归功于印度——它的进口量增幅达到了惊人的41%——相当于多了1200万瓶——进口额增加了28%。而令人惊讶的是，苏格兰威士忌在印度的烈酒销售总量中仅占1个百分点。长期寄希望于印度成为苏格兰威士忌救星的赌注似乎终于有了回报。韩国市场依然不妙，为了重燃人们的兴趣，威士忌公司正在尝试推出低酒精度产品。台湾的强劲势头有所减弱，不过这也许是不可避免的，因为它此前的飞速增长——尤其是单一麦芽威士忌——本来就不可能一直持续。
从很多方面来说，苏格兰威士忌市场又恢复了原来固有的模式：假如某个市场表现不佳，通常会有另外一个市场来补救。换句话说，全球各大市场同时一片繁荣的景象是非常罕见的。这种情况在几年前出现过一次，那时全球人口最多的几个市场——中国、巴西、俄罗斯和印度——同时对苏格兰威士忌情有独钟，而包括北美和欧洲在内的成熟市场也同样热情高涨。尽管从2013年以来连续三年出现下滑，但实际上苏格兰威士忌市场比十年前要健康得多。
【单一麦芽威士忌崛起】
过去几年中，苏格兰威士忌的主要发展态势是单一麦芽威士忌在全世界崛起。目前它的销量占苏格兰威士忌总销量的9%，销售额占25%。这当然是个大好消息，不过本身也的确引发了一些问题。格兰威特和格兰菲迪是仅有的两家年销量超过100万箱的单一麦芽威士忌酒厂。这个数字已经很大了，但尊尼获加卖出了超过1800万箱。单一麦芽威士忌酒厂的产能总是有限的——并且大部分同时酿造单一麦芽和调和型威士忌。格兰威特和格兰菲迪都是大酒厂（并且规模还在扩大），但是在苏格兰的114家单一麦芽威士忌酒厂中，绝大多数的产量都远远低于它们。单一麦芽威士忌或许让人兴奋，性感迷人，但是它的销售规模永远都赶不上调和型威士忌。
然而，由于越来越多的人开始认为单一麦芽威士忌是好的、调和型威士忌是不好的，后者正在取代前者成为潮流所趋。但这种观点是错误的。所以对苏格兰威士忌而言，更重要的任务是再次唤起人们对调和型威士忌的兴趣。如果苏格兰威士忌的总体市场份额真的像下文所言那样被其他主要威士忌生产国和当地酒厂蚕食，到时候被消费者抛弃的肯定不是单一麦芽威士忌。而调和型威士忌销量暴跌将会对整个行业带来毁灭性的打击。我们现在的处境远远没有那么糟，但这种趋势必须及时遏制。
【为什么无年份威士忌不会消失——以及为什么这对单一麦芽威士忌来说并不是坏消息】
我已经记不清有多少次人们向我问起无年份威士忌了。那么，我在这里重申一遍我的观点。无年份威士忌本身并没有什么错误、邪恶或卑劣的地方。现在市面上出现了越来越多的无年份产品，原因在于当前单一麦芽威士忌的库存不足以满足全球需求——顺便说一下，美国、日本和爱尔兰威士忌也面临同样的问题。单一麦芽威士忌酒厂本来就产量有限，假如酒厂要求某款威士忌必须达到一定年份才能上市，比如12年，那么它就更加稀缺了，尤其是在12年前产量低的情况下。你不可能只酿造12年陈的威士忌！
问题是，这个行业一直以来都在给我们灌输一种观念——没错，我说的就是你，芝华士——那就是年份“很重要”。不对：年份只是一个数字而已。年份标识告诉你酒液在酒桶中待了多长时间，或者某款调和型威士忌中最年轻原酒的酒龄。但它没有告诉你威士忌的品质如何。成熟度才是最重要的，每款威士忌都有着不同的成熟度，有的在相对“年轻”的时候就开始成熟了。过去人们认为单一麦芽威士忌要在陈年时间达到约10或12年之后才开始成熟，这主要是因为以前用的都是填充过多次的木桶。现在不仅木桶管理系统更加完善，首次填充木桶、新桶和翻新桶也越来越普及。这意味着威士忌在年份较短的时候就开始进入成熟期。
然而，威士忌行业已经和数字密不可分，即使一款8年陈的新品更出色，你也不能用它来替代市场上的12年陈！ 无年份威士忌——由成熟的年轻威士忌和更成熟的高年份威士忌调配而成——则可以解决这个问题。它还给了调和大师自由发挥的空间。他们没必要等上12年，而是可以选用熟成程度不一的原酒，调和出一款应该是具有复杂度的产品。应该是的：无年份不该成为酒厂用年轻未成熟的威士忌去糊弄消费者的借口。任何无年份调和型产品都不应逊色于、或者应该超越、它所替代的年份威士忌。有些做到了。遗憾的是，有些没做到。要用你的味觉来识别优劣，但不要相信无年份威士忌是洪水猛兽。它不是的。
【（较）新的的竞争对手——威士忌生产国日益增多】
这并不是说苏格兰威士忌可以就此高枕无忧了。它自20世纪初确立的霸主地位现在面临着有史以来最为严峻和持久的挑战。事实上，受欢迎的并不只有苏格兰威士忌，所有威士忌都受欢迎。美国威士忌正在崛起，人们发现它不只意味着杰克丹尼或占边。它开始走高端路线，越来越多的品牌取得了成功。爱尔兰威士忌也处于上升期：如果一切顺利，2018年底爱尔兰的威士忌酒厂将达到30家，考虑到本世纪初爱尔兰全国总共才有三家酒厂，这个数字真是非常惊人。而且它们并不都是小酒厂。布什米尔、图拉多、斯莱恩、沃尔什和大北方都颇具规模。但是不得不说，“爱尔兰复兴”实际上仍然依托于尊美醇这个强大的后盾，很多新品牌用的原酒都来自John Teeling的库存，但是从中长期看来，爱尔兰威士忌将会对苏格兰威士忌形成挑战。
日本威士忌仍然誉满天下，但库存吃紧（或者按照三得利的说法是需求过剩）的局面还是没有得到缓解。尽管酒厂产能和威士忌产量正在增加，可是在未来的六七年内无法实现供需平衡。有个国家则一直被忽视，那就是加拿大——这个威士忌生产大国现在也开始对自己产品的品质树起了信心。此外，它也最终意识到自己的威士忌不仅仅可以出口到美国。我们有望看到更多品牌出现。至于世界上其他地区，尽管大部分酒厂规模较小，但是产量全部加在一起也相当可观。法国有20家，北欧各国也差不多有20家，美国的威士忌酒厂更是数以百计，尽管没人知道具体数字。
所有这一切对苏格兰威士忌来说意味着什么呢？或许没有哪个国家可以凭一己之力取代它，但是所有国家加起来足以削弱它的主导地位。这是个麻烦吗？不。实际上，我认为这是一个机遇。所有这些国家都强调自己的“非苏格兰”身份。苏格兰威士忌的问题在于这么长时间以来一直处于绝对优势地位，以至于它根本不需要准确地定义自我。现在它终于有机会站出来说：“这就是我代表的东西。这就是真正的我。”所以从根本上来说，我持乐观态度。
【衰退？什么衰退？——苏格兰威士忌迎来全球增长】
苏格兰威士忌的出口自2013年以来持续下滑，但是2016年上半年的统计数据表明这种下跌趋势似乎终于得到了遏制，出口量增长了3%，出口额则有所下降，但降幅仅为1%。而出口总量为5.31亿瓶。北美的消费量有所下降，但是消费额增加了，而欧洲（最大的消费国是法国）市场开始回暖。亚洲市场过去几年一直不景气，但现在好像也开始重回增长轨道——进口量增长了13%，进口额也有小幅增加。新加坡（实际上相当于进入中国市场的门户）进口量增长了15%，进口额增加了8%，日本也出现了复苏迹象（进口量增长了20%，进口额增加了3%），但亚洲市场的上升趋势主要还是归功于印度——它的进口量增幅达到了惊人的41%——相当于多了1200万瓶——进口额增加了28%。而令人惊讶的是，苏格兰威士忌在印度的烈酒销售总量中仅占1个百分点。长期寄希望于印度成为苏格兰威士忌救星的赌注似乎终于有了回报。韩国市场依然不妙，为了重燃人们的兴趣，威士忌公司正在尝试推出低酒精度产品。台湾的强劲势头有所减弱，不过这也许是不可避免的，因为它此前的飞速增长——尤其是单一麦芽威士忌——本来就不可能一直持续。
从很多方面来说，苏格兰威士忌市场又恢复了原来固有的模式：假如某个市场表现不佳，通常会有另外一个市场来补救。换句话说，全球各大市场同时一片繁荣的景象是非常罕见的。这种情况在几年前出现过一次，那时全球人口最多的几个市场——中国、巴西、俄罗斯和印度——同时对苏格兰威士忌情有独钟，而包括北美和欧洲在内的成熟市场也同样热情高涨。尽管从2013年以来连续三年出现下滑，但实际上苏格兰威士忌市场比十年前要健康得多。
【单一麦芽威士忌崛起】
过去几年中，苏格兰威士忌的主要发展态势是单一麦芽威士忌在全世界崛起。目前它的销量占苏格兰威士忌总销量的9%，销售额占25%。这当然是个大好消息，不过本身也的确引发了一些问题。格兰威特和格兰菲迪是仅有的两家年销量超过100万箱的单一麦芽威士忌酒厂。这个数字已经很大了，但尊尼获加卖出了超过1800万箱。单一麦芽威士忌酒厂的产能总是有限的——并且大部分同时酿造单一麦芽和调和型威士忌。格兰威特和格兰菲迪都是大酒厂（并且规模还在扩大），但是在苏格兰的114家单一麦芽威士忌酒厂中，绝大多数的产量都远远低于它们。单一麦芽威士忌或许让人兴奋，性感迷人，但是它的销售规模永远都赶不上调和型威士忌。
然而，由于越来越多的人开始认为单一麦芽威士忌是好的、调和型威士忌是不好的，后者正在取代前者成为潮流所趋。但这种观点是错误的。所以对苏格兰威士忌而言，更重要的任务是再次唤起人们对调和型威士忌的兴趣。如果苏格兰威士忌的总体市场份额真的像下文所言那样被其他主要威士忌生产国和当地酒厂蚕食，到时候被消费者抛弃的肯定不是单一麦芽威士忌。而调和型威士忌销量暴跌将会对整个行业带来毁灭性的打击。我们现在的处境远远没有那么糟，但这种趋势必须及时遏制。
【为什么无年份威士忌不会消失——以及为什么这对单一麦芽威士忌来说并不是坏消息】
我已经记不清有多少次人们向我问起无年份威士忌了。那么，我在这里重申一遍我的观点。无年份威士忌本身并没有什么错误、邪恶或卑劣的地方。现在市面上出现了越来越多的无年份产品，原因在于当前单一麦芽威士忌的库存不足以满足全球需求——顺便说一下，美国、日本和爱尔兰威士忌也面临同样的问题。单一麦芽威士忌酒厂本来就产量有限，假如酒厂要求某款威士忌必须达到一定年份才能上市，比如12年，那么它就更加稀缺了，尤其是在12年前产量低的情况下。你不可能只酿造12年陈的威士忌！
问题是，这个行业一直以来都在给我们灌输一种观念——没错，我说的就是你，芝华士——那就是年份“很重要”。不对：年份只是一个数字而已。年份标识告诉你酒液在酒桶中待了多长时间，或者某款调和型威士忌中最年轻原酒的酒龄。但它没有告诉你威士忌的品质如何。成熟度才是最重要的，每款威士忌都有着不同的成熟度，有的在相对“年轻”的时候就开始成熟了。过去人们认为单一麦芽威士忌要在陈年时间达到约10或12年之后才开始成熟，这主要是因为以前用的都是填充过多次的木桶。现在不仅木桶管理系统更加完善，首次填充木桶、新桶和翻新桶也越来越普及。这意味着威士忌在年份较短的时候就开始进入成熟期。
然而，威士忌行业已经和数字密不可分，即使一款8年陈的新品更出色，你也不能用它来替代市场上的12年陈！ 无年份威士忌——由成熟的年轻威士忌和更成熟的高年份威士忌调配而成——则可以解决这个问题。它还给了调和大师自由发挥的空间。他们没必要等上12年，而是可以选用熟成程度不一的原酒，调和出一款应该是具有复杂度的产品。应该是的：无年份不该成为酒厂用年轻未成熟的威士忌去糊弄消费者的借口。任何无年份调和型产品都不应逊色于、或者应该超越、它所替代的年份威士忌。有些做到了。遗憾的是，有些没做到。要用你的味觉来识别优劣，但不要相信无年份威士忌是洪水猛兽。它不是的。
【（较）新的的竞争对手——威士忌生产国日益增多】
这并不是说苏格兰威士忌可以就此高枕无忧了。它自20世纪初确立的霸主地位现在面临着有史以来最为严峻和持久的挑战。事实上，受欢迎的并不只有苏格兰威士忌，所有威士忌都受欢迎。美国威士忌正在崛起，人们发现它不只意味着杰克丹尼或占边。它开始走高端路线，越来越多的品牌取得了成功。爱尔兰威士忌也处于上升期：如果一切顺利，2018年底爱尔兰的威士忌酒厂将达到30家，考虑到本世纪初爱尔兰全国总共才有三家酒厂，这个数字真是非常惊人。而且它们并不都是小酒厂。布什米尔、图拉多、斯莱恩、沃尔什和大北方都颇具规模。但是不得不说，“爱尔兰复兴”实际上仍然依托于尊美醇这个强大的后盾，很多新品牌用的原酒都来自John Teeling的库存，但是从中长期看来，爱尔兰威士忌将会对苏格兰威士忌形成挑战。
日本威士忌仍然誉满天下，但库存吃紧（或者按照三得利的说法是需求过剩）的局面还是没有得到缓解。尽管酒厂产能和威士忌产量正在增加，可是在未来的六七年内无法实现供需平衡。有个国家则一直被忽视，那就是加拿大——这个威士忌生产大国现在也开始对自己产品的品质树起了信心。此外，它也最终意识到自己的威士忌不仅仅可以出口到美国。我们有望看到更多品牌出现。至于世界上其他地区，尽管大部分酒厂规模较小，但是产量全部加在一起也相当可观。法国有20家，北欧各国也差不多有20家，美国的威士忌酒厂更是数以百计，尽管没人知道具体数字。
所有这一切对苏格兰威士忌来说意味着什么呢？或许没有哪个国家可以凭一己之力取代它，但是所有国家加起来足以削弱它的主导地位。这是个麻烦吗？不。实际上，我认为这是一个机遇。所有这些国家都强调自己的“非苏格兰”身份。苏格兰威士忌的问题在于这么长时间以来一直处于绝对优势地位，以至于它根本不需要准确地定义自我。现在它终于有机会站出来说：“这就是我代表的东西。这就是真正的我。”所以从根本上来说，我持乐观态度。
布尔巴基论测度、积分和概率--2017
积分是数学概念中一个可按多种不同的观点探讨的典型例子。为说明这个观点，让我们仅考虑定义在区间[a,b]上并取正实值的函数f，f在此区间上的积分记为∫_{a~b} f(x)dx，它对应由x轴与f的曲线所围成的面积—我们能说f的积分测度这块面积。积分论的目标是给出一种精确的方法，使其尽适用于尽可能广泛的一类函数。
1. 柯西—黎曼积分
最早的是积分是柯西—黎曼方法，它基于以下方法定义积分：把区间[a,6]分为长度为Δx_{1}, Δx_{2},…,Δx_{N}的N个小区间，当N趋于无穷时对下式求和：
S_{N} = f(x_{1})Δx_{1} + f(x_{1})Δx_{2} + ... + fx_{N} Δx_{N}；
其中每个x为区间Ax中的一点，即所讨论的面积用N个矩形区域的面积近似(逼近)计算，当N趋向于无穷时，能由这些矩形的面积和计算(见86页表7)。
2. 勒贝格积分
现代方法由勒贝格借助于测度论而创立，用简单两又不太严格的语言表述，定义在实数集R上的测度是一个函数m，它把的R的每个子集A对应到一个非负数m(A)，使得当子集A1和A2无交时(即无公共元时)，有m(A1 U A2) = m(A1) + m(A2)。这种非负性与可加性使测度与直观的长度、面积和体积的概念对应起来，可见在R上存在唯一的一个测度m，对任意a、b满足m([a,b])=b-a。换言之，任一区间的测度是它的长度，这种测度称为勒贝格测度。
那么我们如何用勒贝格测度定义区间[a,b]上的实值函数f的积分呢? 我们不像黎曼积分中那样对x轴上(定义域)的区间[a,b]进行划分，而是对函数f的值域[y_{min}, y_{max}划分，这样得到N个相邻的区间：
I_{1} = [y_{min}, y), I_{2} = [y_{1}, y_{2}), ..., I_{N} = [y_{N-1}, y_{max});
对其中任一区间I_{p}，设A_{p}为使得f(x) ∈ I_{p}的集合(如A2为使得f(2)位于y_{1}和y_{2}之间的x的集合)，通常A_{p}不是一个简单的空间，而是不相交区间的并集，甚至更为复杂，对于每个p，考虑乘积Z_{p}m(A_{p})，其中m为勒贝格测度而Z_{p}为I_{p}中的一点，此时合式S_{N} = Z_{1}m(A_{1}) + Z_{2}m(A_{2}) + ... + Z_{N}m(A_{N})近似为表示f的曲线和x轴围成的区域的面积，其中区间[y_{min}, y_{max}]被划分为越来越细的区间，令N趋向于无穷时，则上述之和(sum)通常趋向于某个数。由定义得知，这个和就是函数f在区间 [a,b]上的勒贝格积分。
为了展示勤贝格积分与黎曼积分相比有众多优点，有必要深入细致地研究赖贝格积分的定义及定理。然而更重要的是，勒贝格积分更普遍适用。因为每一个黎曼可积的函数也是勒贝格可积的(两积分值相等)，但有些勒贝格可积的函数并非黎曼可积的，如函数g定义为：当x为有理数时g(x)=1、x为无理数时, g(x)=0就不是黎曼可积的，但勒贝格可积且其积分值为0(因为有理数的测度为0)。
基于测度建立的勒贝格方法可泛化至比[y_{min}, y_{max}]复杂得多的集合，在概率论中也有应用。确实，计算一个事件的概率包含测量与此集合对应的基本可能事件。因此一个概率测度仅仅是上述定义测度的特例：更具体地讲，一个概率测度一个测度p，满足p(Ω)=1,其中Ω是全体(population)基本可能事件集(因为总有一个可能性事件必然发生，故事件Ω的概率必为1)。
三、布尔巴基积分
但是布尔巴基并没有选择勒贝格方法而是决定发展一种不同的方法。在此，我们简洁地解释一下，布尔巴基引进了一种基于定义在连续函数空间上的线性型的积分。因此，一个线性型是一个函数L，它把每一个连续函数f对应一个数 L(f)，对于任意连续函数f_{1}和f_{2}以及数a、b满足L(af_{1} + bf_{2}) = aL(f_{1}) + bL(f_{2})。这个性质称为线性性质，是积分的重要性质之一)。 这种方法备受批评，巴黎南大学的数学家让·卡昂解释说：因为它用到拓扑学中的概念---如连续性，尽管积分并不需要拓扑学。他还说：布尔巴基第一批成员中最年长的一位成员的老师阿尔诺·当若瓦(Arnaud Denjoy)发明一个原创但相当复杂的积分理论。在布尔巴基处理此主题时却嫌弃这一理论。然而，老实说，我们应该强调布尔巴基方法的确带来一些有用的结果，这点非常重要。比如，它帮助洛朗·施瓦兹创立广义函数理论、泛化函数概念并涉及定义在比连续函数更狭窄一类函数上定义线性型。
4. 总结：
积分概念在数学和其它科学中应用广泛。在初级教材中，积分是以不定积分的形式出现的。
对于给定函数f，如果对于任意x，导数F‘(x)等于f(x)，我们就说F是f的不定积分。那么，f在区间[a,b] 的积分就由公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)定义。
然而，在历史上，积分源于面积与体积的计算。定义如下，积分∫_{a~b}f(x)dx是位于xy坐标系中、由代表函数f的曲线、x轴、垂线x=a、x=b围成的区域的面积。另一个更准确简单的定义是：把区间[a,b]分为N个长度为Δx= [a,b]/N的小区间，积分∫_{a~b}f(x)dx是和式f(x_{1})Δx + f(x_{2})Δx + f(x_{N})Δx当N趋于无穷时的极限，这里的x_{i}是第i个区间上的一点。这等同于通过计算越来越窄的矩形的面积粗略估算区域面积(见图)。
利用这一方法，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)成为一个定理—尽管只在某种特定的假设下有效-而不是一个定义。积分的概念能泛化到更一般的函数上(如多元函数)，并且能替换区间[a,6]，积分的定义域可以是一个平面、一个三维空间或n维空间的子集，甚至是一个更抽象集合的子集。
备注：
0. 参考2017年出版的法语版著作Bourbaki Une société secrète de mathématiciens。
1. 必须强调的是，布尔巴基观点具有一些令人欣喜的结果，因为它促使洛朗·施瓦兹(Laurent Schwartz)创立分布理论，它是定义在一类函数上的线性形式这类函数，比连续函数更受限制，分布理论泛化了函数的概念。
2. 积分的概念：积分
积分的概念在数学和其它科学中有许多应用。在基本介绍中，通常是从原始介绍中提出的。给定一个数值函数f，如果对于所有x，其导数F'(x)等于f(x)，那么我们说函数F是f的原函数。然后，可通过以下公式定义间隔[a,b]中f的积分：∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)。
然而，从历史上看，积分源自面积和体积的计算。根据定义，积分∫_{a~b}f(x)dx确切地说是在位于x-y坐标中由代表函数f的曲线、x轴和两个垂线x=a和x=b围成的区域面积。从柯西和黎曼给出的意义上讲，更精确一点但无论如何简化了，上面的积分是N趋于总和的无穷大时的极限：
f(x_{1})Δx+ f(x_{2})Δx + ... + f(x_{N})Δx;
或消除花括号化简得到：
f(x1)Δx + f(x2)Δx+ ... + f(xN)Δx;
通过把间隔[a,b]细分为长度为Δx=(b-a)/ N的N个小间隔而获得(xi是第i个间隔的任意点)。这等同于通过越来越多的越来越细的矩形接近该区域来计算该区域(请参见附件1)。在该方案中，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)是一个定理-仅在某些条件下有效，而不是定义。
积分的概念能扩展到更一般的函数(如多元函数)，积分的范围不一定是一个区间[a,b]，而可能是平面的一个区域，即一个区域具有3个或N个维度的空间、甚至是更抽象的集合。总而言之，把函数f集成到某个域上是该域所有点P的函数值f(P)的总和。然而，要获得有限且有意义的结果，我们必须把每个f(P)乘以无限小的值(这是上面Δx的作用)，因为在一个域中作为平面的间隔或区域存在无限多个点P 。积分理论的目标是严格并尽可能地广泛地做到这一点，以便使属性和定理适用于竟可能大的不同类型的函数。从这个角度来看，亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在1900年代根据埃米尔·博雷尔(Émile Borel)的测度论阐述的积分理论是一个里程碑(另请参见法语版第196-198页的方框)。
积分是数学概念中一个可按多种不同的观点探讨的典型例子。为说明这个观点，让我们仅考虑定义在区间[a,b]上并取正实值的函数f，f在此区间上的积分记为∫_{a~b} f(x)dx，它对应由x轴与f的曲线所围成的面积—我们能说f的积分测度这块面积。积分论的目标是给出一种精确的方法，使其尽适用于尽可能广泛的一类函数。
1. 柯西—黎曼积分
最早的是积分是柯西—黎曼方法，它基于以下方法定义积分：把区间[a,6]分为长度为Δx_{1}, Δx_{2},…,Δx_{N}的N个小区间，当N趋于无穷时对下式求和：
S_{N} = f(x_{1})Δx_{1} + f(x_{1})Δx_{2} + ... + fx_{N} Δx_{N}；
其中每个x为区间Ax中的一点，即所讨论的面积用N个矩形区域的面积近似(逼近)计算，当N趋向于无穷时，能由这些矩形的面积和计算(见86页表7)。
2. 勒贝格积分
现代方法由勒贝格借助于测度论而创立，用简单两又不太严格的语言表述，定义在实数集R上的测度是一个函数m，它把的R的每个子集A对应到一个非负数m(A)，使得当子集A1和A2无交时(即无公共元时)，有m(A1 U A2) = m(A1) + m(A2)。这种非负性与可加性使测度与直观的长度、面积和体积的概念对应起来，可见在R上存在唯一的一个测度m，对任意a、b满足m([a,b])=b-a。换言之，任一区间的测度是它的长度，这种测度称为勒贝格测度。
那么我们如何用勒贝格测度定义区间[a,b]上的实值函数f的积分呢? 我们不像黎曼积分中那样对x轴上(定义域)的区间[a,b]进行划分，而是对函数f的值域[y_{min}, y_{max}划分，这样得到N个相邻的区间：
I_{1} = [y_{min}, y), I_{2} = [y_{1}, y_{2}), ..., I_{N} = [y_{N-1}, y_{max});
对其中任一区间I_{p}，设A_{p}为使得f(x) ∈ I_{p}的集合(如A2为使得f(2)位于y_{1}和y_{2}之间的x的集合)，通常A_{p}不是一个简单的空间，而是不相交区间的并集，甚至更为复杂，对于每个p，考虑乘积Z_{p}m(A_{p})，其中m为勒贝格测度而Z_{p}为I_{p}中的一点，此时合式S_{N} = Z_{1}m(A_{1}) + Z_{2}m(A_{2}) + ... + Z_{N}m(A_{N})近似为表示f的曲线和x轴围成的区域的面积，其中区间[y_{min}, y_{max}]被划分为越来越细的区间，令N趋向于无穷时，则上述之和(sum)通常趋向于某个数。由定义得知，这个和就是函数f在区间 [a,b]上的勒贝格积分。
为了展示勤贝格积分与黎曼积分相比有众多优点，有必要深入细致地研究赖贝格积分的定义及定理。然而更重要的是，勒贝格积分更普遍适用。因为每一个黎曼可积的函数也是勒贝格可积的(两积分值相等)，但有些勒贝格可积的函数并非黎曼可积的，如函数g定义为：当x为有理数时g(x)=1、x为无理数时, g(x)=0就不是黎曼可积的，但勒贝格可积且其积分值为0(因为有理数的测度为0)。
基于测度建立的勒贝格方法可泛化至比[y_{min}, y_{max}]复杂得多的集合，在概率论中也有应用。确实，计算一个事件的概率包含测量与此集合对应的基本可能事件。因此一个概率测度仅仅是上述定义测度的特例：更具体地讲，一个概率测度一个测度p，满足p(Ω)=1,其中Ω是全体(population)基本可能事件集(因为总有一个可能性事件必然发生，故事件Ω的概率必为1)。
三、布尔巴基积分
但是布尔巴基并没有选择勒贝格方法而是决定发展一种不同的方法。在此，我们简洁地解释一下，布尔巴基引进了一种基于定义在连续函数空间上的线性型的积分。因此，一个线性型是一个函数L，它把每一个连续函数f对应一个数 L(f)，对于任意连续函数f_{1}和f_{2}以及数a、b满足L(af_{1} + bf_{2}) = aL(f_{1}) + bL(f_{2})。这个性质称为线性性质，是积分的重要性质之一)。 这种方法备受批评，巴黎南大学的数学家让·卡昂解释说：因为它用到拓扑学中的概念---如连续性，尽管积分并不需要拓扑学。他还说：布尔巴基第一批成员中最年长的一位成员的老师阿尔诺·当若瓦(Arnaud Denjoy)发明一个原创但相当复杂的积分理论。在布尔巴基处理此主题时却嫌弃这一理论。然而，老实说，我们应该强调布尔巴基方法的确带来一些有用的结果，这点非常重要。比如，它帮助洛朗·施瓦兹创立广义函数理论、泛化函数概念并涉及定义在比连续函数更狭窄一类函数上定义线性型。
4. 总结：
积分概念在数学和其它科学中应用广泛。在初级教材中，积分是以不定积分的形式出现的。
对于给定函数f，如果对于任意x，导数F‘(x)等于f(x)，我们就说F是f的不定积分。那么，f在区间[a,b] 的积分就由公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)定义。
然而，在历史上，积分源于面积与体积的计算。定义如下，积分∫_{a~b}f(x)dx是位于xy坐标系中、由代表函数f的曲线、x轴、垂线x=a、x=b围成的区域的面积。另一个更准确简单的定义是：把区间[a,b]分为N个长度为Δx= [a,b]/N的小区间，积分∫_{a~b}f(x)dx是和式f(x_{1})Δx + f(x_{2})Δx + f(x_{N})Δx当N趋于无穷时的极限，这里的x_{i}是第i个区间上的一点。这等同于通过计算越来越窄的矩形的面积粗略估算区域面积(见图)。
利用这一方法，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(a) - F(b)成为一个定理—尽管只在某种特定的假设下有效-而不是一个定义。积分的概念能泛化到更一般的函数上(如多元函数)，并且能替换区间[a,6]，积分的定义域可以是一个平面、一个三维空间或n维空间的子集，甚至是一个更抽象集合的子集。
备注：
0. 参考2017年出版的法语版著作Bourbaki Une société secrète de mathématiciens。
1. 必须强调的是，布尔巴基观点具有一些令人欣喜的结果，因为它促使洛朗·施瓦兹(Laurent Schwartz)创立分布理论，它是定义在一类函数上的线性形式这类函数，比连续函数更受限制，分布理论泛化了函数的概念。
2. 积分的概念：积分
积分的概念在数学和其它科学中有许多应用。在基本介绍中，通常是从原始介绍中提出的。给定一个数值函数f，如果对于所有x，其导数F'(x)等于f(x)，那么我们说函数F是f的原函数。然后，可通过以下公式定义间隔[a,b]中f的积分：∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)。
然而，从历史上看，积分源自面积和体积的计算。根据定义，积分∫_{a~b}f(x)dx确切地说是在位于x-y坐标中由代表函数f的曲线、x轴和两个垂线x=a和x=b围成的区域面积。从柯西和黎曼给出的意义上讲，更精确一点但无论如何简化了，上面的积分是N趋于总和的无穷大时的极限：
f(x_{1})Δx+ f(x_{2})Δx + ... + f(x_{N})Δx;
或消除花括号化简得到：
f(x1)Δx + f(x2)Δx+ ... + f(xN)Δx;
通过把间隔[a,b]细分为长度为Δx=(b-a)/ N的N个小间隔而获得(xi是第i个间隔的任意点)。这等同于通过越来越多的越来越细的矩形接近该区域来计算该区域(请参见附件1)。在该方案中，公式∫_{a~b}f(x)dx = F(b) - F(a)是一个定理-仅在某些条件下有效，而不是定义。
积分的概念能扩展到更一般的函数(如多元函数)，积分的范围不一定是一个区间[a,b]，而可能是平面的一个区域，即一个区域具有3个或N个维度的空间、甚至是更抽象的集合。总而言之，把函数f集成到某个域上是该域所有点P的函数值f(P)的总和。然而，要获得有限且有意义的结果，我们必须把每个f(P)乘以无限小的值(这是上面Δx的作用)，因为在一个域中作为平面的间隔或区域存在无限多个点P 。积分理论的目标是严格并尽可能地广泛地做到这一点，以便使属性和定理适用于竟可能大的不同类型的函数。从这个角度来看，亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在1900年代根据埃米尔·博雷尔(Émile Borel)的测度论阐述的积分理论是一个里程碑(另请参见法语版第196-198页的方框)。
【张迁碑】
又名《张迁表颂》， 全称《汉故谷城长荡阴令张君表颂》，是东汉晚期佚名书法家书丹，东汉碑刻家孙兴刻石而成的一件隶书书法作品。此碑于东汉中平三年（186年）刻立，明代初年出土，现收藏于山东泰山岱庙碑廊。
《张迁碑》篆额题“汉故毂城长荡阴令张君表颂”12字，额字独呈扁形，书意在篆隶之间；碑阳正文15行，行42字；碑阴3列，上2列19行，下列3行碑文。此碑是谷城故吏韦萌等为追念张迁之功德而立，铭文着重宣扬张迁及其祖先张仲、张良、张释之和张骞的功绩，并涉及到黄巾起义军的有关情节，具有很高的史料价值。
《张迁碑》是东汉隶书成熟时期的作品，书法造诣高。此碑自出土以来，为历代金石、书法家所推崇。在众多的汉代碑刻中，此碑以古朴、厚重、典雅取胜，字里行间流露出率真之意，具有民间朴质之风，格调峻实稳重，堪称神品。它起笔方折宽厚，转角方圆兼备，运笔遒劲而曲折有力，落笔稳健，可谓是汉隶方笔系统的代表作。
「译文」
君讳迁，字公方，陈留己吾人也。君之先出自有周，周宣王中兴，有张仲，以孝友为行，披览《诗·雅》，焕知其祖。高帝龙兴，有张良，善用筹策，在帷幕之内，决胜负千里之外，析珪于留。文景之间，有张释之，建忠弼之谟。帝游上林，问禽狩所有。苑令不对，更问啬夫，啬夫事对。于是进啬夫为令，令退为啬夫。释之议为不可：苑令有公卿之才，啬夫喋喋小吏，非社稷之重。上从言。孝武时，有张骞，广通风俗，开定畿寓，南苞八蛮，西羁六戎，北震五秋，东勤九夷。荒远既殡，各贡所有。张是辅汉，世载其德。爰既且于君，盖其繵縺。缵戎鸿绪，牧守相系，不殒高问。孝弟于家，中謇于朝。治京氏易，聪丽权略，艺于从政。少为郡吏，隐练职位，常在股肱。数为从事，声无细闻。征拜郎中，除谷城长。蚕月之务，不闭四门。腊正之祭，休囚归贺。八月筭民，不烦于乡。随就虚落，存恤高年。路无拾遗，犁种宿野。黄巾初起，烧平城市，斯县独全。子贱孔蔑，其道区别。《尚书》五教，君崇其宽；诗云恺悌，君隆其恩；东里润色，君垂其仁。邵伯分陕，君懿子棠。晋阳佩玮，西门带弦。君之体素，能双其勋。流化八基，迁荡阴令。吏民颉颃，随送如云。周公东征，西人怨思。奚斯赞鲁。考父颂殷。前喆遗芳，有功不书，后无述焉。于是刊石竖表，铭勒万载。三代以来，虽远犹近，《诗》云旧国，其命惟新。
于穆我君，既敦既纯。雪白之性，孝友之仁。纪行来本，兰生有芬，克岐有兆，绥御有勋。利器不觌，鱼不出渊。国之良干，垂爱在民。蔽沛棠树，温温恭人。干道不缪，唯淑是亲。既多受祉，永享南山。干禄无疆，子子孙孙。
惟中平三年，岁在摄提，二月震节，纪日上旬。阳气厥析，感思旧君。故吏韦萌等，佥然同声，赁师孙兴，刊石立表，以示后昆。共享天祚，亿载万年。
「创作背景」
此碑石于东汉灵帝中平三年（186年）立碑于山东东平县，是颂扬张迁执政谷城时多施惠政的政绩；碑阴刻有立碑官吏姓名及捐资钱数。[6]
碑主张迁，字公方，陈留己吾（今河南宁陵境内）人。曾任谷城（今河南洛阳市西北）长，迁荡阴（今河南汤阴县）令。碑文系故吏韦萌等为追念其功德而立。碑文书法多别体，未署书者姓名，刻石人为孙兴。清初顾炎武《金石文字记》疑此碑为后人摹刻，但多数考古学家和金石学家则认为，其书风通篇方笔，古朴拙茂，非汉代人不能为之，碑面剥落的痕迹，也非人为所能做到，因此，当是汉代原碑无疑。
「用笔」
《张迁碑》运笔以方笔为主，用笔逆锋坚实，万毫齐力，方圆兼备，沉着饱满。横画两端都见方，粗重浑厚，有万钧不屈之力，如“言”、“善”等字。书写时万毫齐力，行笔似有反力相阻，右端回锋上提收笔，欲左先右，无往不收。“蚕头雁尾”的横画写法也一样，起笔处重顿后，渐提行笔，正锋而行，笔壮墨饱，收笔时顿笔后迅速上提，挺直凝重而有力。竖画的用笔方法是落笔逆锋向上，提笔调锋起笔处方厚饱满，再调笔锋向下，竖锋运笔，收笔时或轻或重顿后，提笔向上回收笔锋，如“之”、“中”、“尚”等字。折画是在横画收笔处将笔锋上提，换向后在原处入纸行笔，转折处方整斩截又自然，略呈外方内圆，或内外皆方，如“月”、“巾”等字的折画。
特别是此碑的撇画比绝大多数知名的汉碑隶书都要丰富些，如“更”、“令”等字，其写法下笔如同竖画，藏锋逆入，中锋行笔顺势顿驻后逐渐上提后回收。撇画是隶书中具有特色的笔画，由于是向左方运笔，行时阻力大，力量强劲，圆转道健，笔力畅达，如“命”字，部分字的竖钩也可看作撇画的一种，如“孝”字。撇画的妙处在于收笔的变化，因轻重、长短、斜度的不同作相应处理，因此变化多姿。有的收笔回锋圆浑，有的收笔方截，每一撇画皆根据字形差异处理得恰到好处。
捺画也是此碑极为突出的笔画，主要是平捺和斜捺。此碑捺画写得厚重而雄健，落笔取逆势，调锋后提笔行笔，用力匀称至捺脚稍顿后提锋，然后顺势宛转而出，笔锋在空中作收势，给人一种朴拙但不刻板的感觉。如“吏”字的捺逆锋起笔，在行笔过程中，逐渐用力渐行渐按，铺毫向右下行笔，行至捺端，提笔右上轻出，捺脚似方似圆，力含其中“敦”字之捺虽不粗壮，但笔画含力在内，雄强刚劲，深沉有力。捺画落笔常作蚕头状，捺脚作雁尾状，与他碑横画“蚕头雁尾”之状相合。
「结字」
《张迁碑》结字巧中有拙，拙中寓巧，大巧若拙。它完全去掉了雕饰的成分，一任天然，真可谓道法自然，浑然天成。字的各部分关系处理得非常生动，挪让呼应，顾盼有情，憨态可掬。
在整体上虽扁方，整饬划一，又因字立形，顺其自然，险中求正，字体端庄朴茂，笔短意长，有些字突出主笔横画和捺画，以尽其势。全碑各字稳而不呆，动感强烈，动中求稳，稳中求变。神采奕然的体态特征在形体、笔画的避让、空间布白的处理、平正与险绝的错落中表现得淋漓尽致，看似简单，实则妙趣横生，有“险绝”后“复归平正”之感。
「章法」
《张迁碑》章法不拘一格，生动活泼。汉代碑刻多有边框方格，排列整齐，所以大部分汉碑字形大小一致，平均摆放，给人中规中矩的感觉。而《张迁碑》却独树一帜，通篇取茂密之势，但字间和行间都无严格的固定距离，疏与密适当，“疏处可以走马，密处不使透风”。既严谨又空灵，疏处阔绰而不散漫，达到了疏与密的对立统一。同时，字形大小参差，正斜互用，疏密随意，但整体上又相互呼应，左右顾盼，一派天真烂漫的景象。
「名家点评」
明·王世贞《州山人题跋》：“其书不能工，而典雅饶古意，终非永嘉以后所可及也。”[1]
清·孙承泽《庚子消夏记》：“书法方整尔雅，汉石中不多见者。”[1]
清·郭尚先《芳坚馆题跋》：“汉碑严重平硬，是碑为冠。”[1]
清·杨守敬《平碑记》：“（此碑）用笔已开魏晋风气，此源始于《西狭颂》，流为黄初三碑《上尊号奏》《受禅表》《孔羡碑》之折刀头，再变为北魏真书《始平公》等碑。”[1]
现代碑帖鉴定家蒋文光：“《张迁碑》是汉碑中艺术水平很高的一件作品。书法浑厚方折，朴茂端严为汉碑中方整类的主要代表。书法用笔以方为主，兼用圆笔。笔画端正，结体取势平直，饱满严密，笔致朴质古拙遒劲灵动，多有变化。同时，用笔与结体是相互为用的，不同书体，其用笔亦有所侧重。笔致变化多端，往往在均衡的横直线条和方折之中掺以一笔极其熟练而有力的弧线。看去既笔笔挺劲，气势雄浑，却又在拙朴中见秀美，在端重中显生动。全碑字字生动，变化生新，朴实自然，从而达到全局皆活的奇妙效果。”
「后世影响」
《张迁碑》对清代隶书影响极大，直至近代仍有着独特的地位。与东汉时期其他名碑相比，它是对东汉桓灵时期讲究规则整饬的流行汉隶的一种创新，为汉碑带来活泼的意态，注入了新鲜的血液。该碑不仅为汉人分书之代表，而且其用笔结体之奇肆跌宕已开魏晋风气，对清代书法艺术的发展起了承启的作用。
「历史传承」
《张迁碑》于汉灵帝中平三年（186年）立碑山东东平县。明代初年被掘地发现，最早著录见于明代都穆《金薤琳琅》。明初出土时立于东平儒学明伦堂前，当时铭文尚完好可读。至明正德年间（1506—1521年），“东里润色”四字尚完好，仅残缺五字。清乾隆间（1711—1799年），“东里润色”的“东”字泐半，“润”字的“水”旁仅存中点，“色”字与下“君”字皆泐大半。光绪十八年（1892年）碑毁于火，常熟翁氏就原碑重新剔刻，但神气全非，幸碑阴文尚完好如旧。解放后，在东平县府院内建亭，将碑置于亭内。1965年移岱庙炳灵门内，外置玻璃罩保护。1983年9月移于山东泰山岱庙碑廊，后一直陈列收藏于此。现残泐六十八字，其中二十二字全泐。
又名《张迁表颂》， 全称《汉故谷城长荡阴令张君表颂》，是东汉晚期佚名书法家书丹，东汉碑刻家孙兴刻石而成的一件隶书书法作品。此碑于东汉中平三年（186年）刻立，明代初年出土，现收藏于山东泰山岱庙碑廊。
《张迁碑》篆额题“汉故毂城长荡阴令张君表颂”12字，额字独呈扁形，书意在篆隶之间；碑阳正文15行，行42字；碑阴3列，上2列19行，下列3行碑文。此碑是谷城故吏韦萌等为追念张迁之功德而立，铭文着重宣扬张迁及其祖先张仲、张良、张释之和张骞的功绩，并涉及到黄巾起义军的有关情节，具有很高的史料价值。
《张迁碑》是东汉隶书成熟时期的作品，书法造诣高。此碑自出土以来，为历代金石、书法家所推崇。在众多的汉代碑刻中，此碑以古朴、厚重、典雅取胜，字里行间流露出率真之意，具有民间朴质之风，格调峻实稳重，堪称神品。它起笔方折宽厚，转角方圆兼备，运笔遒劲而曲折有力，落笔稳健，可谓是汉隶方笔系统的代表作。
「译文」
君讳迁，字公方，陈留己吾人也。君之先出自有周，周宣王中兴，有张仲，以孝友为行，披览《诗·雅》，焕知其祖。高帝龙兴，有张良，善用筹策，在帷幕之内，决胜负千里之外，析珪于留。文景之间，有张释之，建忠弼之谟。帝游上林，问禽狩所有。苑令不对，更问啬夫，啬夫事对。于是进啬夫为令，令退为啬夫。释之议为不可：苑令有公卿之才，啬夫喋喋小吏，非社稷之重。上从言。孝武时，有张骞，广通风俗，开定畿寓，南苞八蛮，西羁六戎，北震五秋，东勤九夷。荒远既殡，各贡所有。张是辅汉，世载其德。爰既且于君，盖其繵縺。缵戎鸿绪，牧守相系，不殒高问。孝弟于家，中謇于朝。治京氏易，聪丽权略，艺于从政。少为郡吏，隐练职位，常在股肱。数为从事，声无细闻。征拜郎中，除谷城长。蚕月之务，不闭四门。腊正之祭，休囚归贺。八月筭民，不烦于乡。随就虚落，存恤高年。路无拾遗，犁种宿野。黄巾初起，烧平城市，斯县独全。子贱孔蔑，其道区别。《尚书》五教，君崇其宽；诗云恺悌，君隆其恩；东里润色，君垂其仁。邵伯分陕，君懿子棠。晋阳佩玮，西门带弦。君之体素，能双其勋。流化八基，迁荡阴令。吏民颉颃，随送如云。周公东征，西人怨思。奚斯赞鲁。考父颂殷。前喆遗芳，有功不书，后无述焉。于是刊石竖表，铭勒万载。三代以来，虽远犹近，《诗》云旧国，其命惟新。
于穆我君，既敦既纯。雪白之性，孝友之仁。纪行来本，兰生有芬，克岐有兆，绥御有勋。利器不觌，鱼不出渊。国之良干，垂爱在民。蔽沛棠树，温温恭人。干道不缪，唯淑是亲。既多受祉，永享南山。干禄无疆，子子孙孙。
惟中平三年，岁在摄提，二月震节，纪日上旬。阳气厥析，感思旧君。故吏韦萌等，佥然同声，赁师孙兴，刊石立表，以示后昆。共享天祚，亿载万年。
「创作背景」
此碑石于东汉灵帝中平三年（186年）立碑于山东东平县，是颂扬张迁执政谷城时多施惠政的政绩；碑阴刻有立碑官吏姓名及捐资钱数。[6]
碑主张迁，字公方，陈留己吾（今河南宁陵境内）人。曾任谷城（今河南洛阳市西北）长，迁荡阴（今河南汤阴县）令。碑文系故吏韦萌等为追念其功德而立。碑文书法多别体，未署书者姓名，刻石人为孙兴。清初顾炎武《金石文字记》疑此碑为后人摹刻，但多数考古学家和金石学家则认为，其书风通篇方笔，古朴拙茂，非汉代人不能为之，碑面剥落的痕迹，也非人为所能做到，因此，当是汉代原碑无疑。
「用笔」
《张迁碑》运笔以方笔为主，用笔逆锋坚实，万毫齐力，方圆兼备，沉着饱满。横画两端都见方，粗重浑厚，有万钧不屈之力，如“言”、“善”等字。书写时万毫齐力，行笔似有反力相阻，右端回锋上提收笔，欲左先右，无往不收。“蚕头雁尾”的横画写法也一样，起笔处重顿后，渐提行笔，正锋而行，笔壮墨饱，收笔时顿笔后迅速上提，挺直凝重而有力。竖画的用笔方法是落笔逆锋向上，提笔调锋起笔处方厚饱满，再调笔锋向下，竖锋运笔，收笔时或轻或重顿后，提笔向上回收笔锋，如“之”、“中”、“尚”等字。折画是在横画收笔处将笔锋上提，换向后在原处入纸行笔，转折处方整斩截又自然，略呈外方内圆，或内外皆方，如“月”、“巾”等字的折画。
特别是此碑的撇画比绝大多数知名的汉碑隶书都要丰富些，如“更”、“令”等字，其写法下笔如同竖画，藏锋逆入，中锋行笔顺势顿驻后逐渐上提后回收。撇画是隶书中具有特色的笔画，由于是向左方运笔，行时阻力大，力量强劲，圆转道健，笔力畅达，如“命”字，部分字的竖钩也可看作撇画的一种，如“孝”字。撇画的妙处在于收笔的变化，因轻重、长短、斜度的不同作相应处理，因此变化多姿。有的收笔回锋圆浑，有的收笔方截，每一撇画皆根据字形差异处理得恰到好处。
捺画也是此碑极为突出的笔画，主要是平捺和斜捺。此碑捺画写得厚重而雄健，落笔取逆势，调锋后提笔行笔，用力匀称至捺脚稍顿后提锋，然后顺势宛转而出，笔锋在空中作收势，给人一种朴拙但不刻板的感觉。如“吏”字的捺逆锋起笔，在行笔过程中，逐渐用力渐行渐按，铺毫向右下行笔，行至捺端，提笔右上轻出，捺脚似方似圆，力含其中“敦”字之捺虽不粗壮，但笔画含力在内，雄强刚劲，深沉有力。捺画落笔常作蚕头状，捺脚作雁尾状，与他碑横画“蚕头雁尾”之状相合。
「结字」
《张迁碑》结字巧中有拙，拙中寓巧，大巧若拙。它完全去掉了雕饰的成分，一任天然，真可谓道法自然，浑然天成。字的各部分关系处理得非常生动，挪让呼应，顾盼有情，憨态可掬。
在整体上虽扁方，整饬划一，又因字立形，顺其自然，险中求正，字体端庄朴茂，笔短意长，有些字突出主笔横画和捺画，以尽其势。全碑各字稳而不呆，动感强烈，动中求稳，稳中求变。神采奕然的体态特征在形体、笔画的避让、空间布白的处理、平正与险绝的错落中表现得淋漓尽致，看似简单，实则妙趣横生，有“险绝”后“复归平正”之感。
「章法」
《张迁碑》章法不拘一格，生动活泼。汉代碑刻多有边框方格，排列整齐，所以大部分汉碑字形大小一致，平均摆放，给人中规中矩的感觉。而《张迁碑》却独树一帜，通篇取茂密之势，但字间和行间都无严格的固定距离，疏与密适当，“疏处可以走马，密处不使透风”。既严谨又空灵，疏处阔绰而不散漫，达到了疏与密的对立统一。同时，字形大小参差，正斜互用，疏密随意，但整体上又相互呼应，左右顾盼，一派天真烂漫的景象。
「名家点评」
明·王世贞《州山人题跋》：“其书不能工，而典雅饶古意，终非永嘉以后所可及也。”[1]
清·孙承泽《庚子消夏记》：“书法方整尔雅，汉石中不多见者。”[1]
清·郭尚先《芳坚馆题跋》：“汉碑严重平硬，是碑为冠。”[1]
清·杨守敬《平碑记》：“（此碑）用笔已开魏晋风气，此源始于《西狭颂》，流为黄初三碑《上尊号奏》《受禅表》《孔羡碑》之折刀头，再变为北魏真书《始平公》等碑。”[1]
现代碑帖鉴定家蒋文光：“《张迁碑》是汉碑中艺术水平很高的一件作品。书法浑厚方折，朴茂端严为汉碑中方整类的主要代表。书法用笔以方为主，兼用圆笔。笔画端正，结体取势平直，饱满严密，笔致朴质古拙遒劲灵动，多有变化。同时，用笔与结体是相互为用的，不同书体，其用笔亦有所侧重。笔致变化多端，往往在均衡的横直线条和方折之中掺以一笔极其熟练而有力的弧线。看去既笔笔挺劲，气势雄浑，却又在拙朴中见秀美，在端重中显生动。全碑字字生动，变化生新，朴实自然，从而达到全局皆活的奇妙效果。”
「后世影响」
《张迁碑》对清代隶书影响极大，直至近代仍有着独特的地位。与东汉时期其他名碑相比，它是对东汉桓灵时期讲究规则整饬的流行汉隶的一种创新，为汉碑带来活泼的意态，注入了新鲜的血液。该碑不仅为汉人分书之代表，而且其用笔结体之奇肆跌宕已开魏晋风气，对清代书法艺术的发展起了承启的作用。
「历史传承」
《张迁碑》于汉灵帝中平三年（186年）立碑山东东平县。明代初年被掘地发现，最早著录见于明代都穆《金薤琳琅》。明初出土时立于东平儒学明伦堂前，当时铭文尚完好可读。至明正德年间（1506—1521年），“东里润色”四字尚完好，仅残缺五字。清乾隆间（1711—1799年），“东里润色”的“东”字泐半，“润”字的“水”旁仅存中点，“色”字与下“君”字皆泐大半。光绪十八年（1892年）碑毁于火，常熟翁氏就原碑重新剔刻，但神气全非，幸碑阴文尚完好如旧。解放后，在东平县府院内建亭，将碑置于亭内。1965年移岱庙炳灵门内，外置玻璃罩保护。1983年9月移于山东泰山岱庙碑廊，后一直陈列收藏于此。现残泐六十八字，其中二十二字全泐。
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