随机矩阵(Stochastic Matrix)或转移矩阵(Transition Matrix)
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
东部豪强被疫情+伤病冲击 雄鹿后来居上字母哥冲MVP
雄鹿正在展现卫冕冠军的强大底蕴，以及字母哥展现出来的MVP的绝对的统治力，让雄鹿有可能重新成为东部的霸主，而字母哥也有可能在MVP的榜单上重新杀到C位，本赛季夺冠的游戏和MVP的战争中，雄鹿和字母哥都已经悄然回到了顶级的行列。
整个东部的大环境，本赛季本应该就是最惨烈的存在，第一个月开赛的之后东部只有两支鱼腩球队，即便是现在，东部的竞争依然惨烈到了空前的程度，东部的第13的步行者此前正在嚷嚷重建，而然还是通过一波连胜缩小差距，都不用说是东部第八了，就是和东部第五的骑士队也只不过有4个胜场的差距，而在西部第13的火箭和第八也足足差了5个胜场。
雄鹿因为伤病的问题轮转出现了危机，这让卫冕冠军一度在开赛之后的一个月挣扎前行，落到了东部第12的位置。东部本赛季崛起的黑马球队如奇才和公牛，骑士也卷土重来，黄蜂同样打的非常好，然而在最近的两周的时间，东部的格局一下就发生了巨大的变化，这个变化的原因就是疫情以及伤病，直接改变了现在东部战绩的走势。
先说公牛队，他们一度成为东部第一，但是如今因为触发疫情安全协议，公牛队一度只能有8人进行轮换，他们竟然有多达10个球员触发了安全协议，NBA最终在本赛季首次决定比赛延期，公牛队看起来是得到了喘息，但实际上他们错失了冲击东部第一的机会，此前他们两次封杀篮网一度就只差了0.5个胜场，如今公牛队什么时候可以从安全协议中找回状态，似乎不得而知。
热火这边同样触发过安全协议，但是阿德巴约的受伤才是最让他们受伤的，魔兽是本赛季热火的内线第一核心和防守屏障，热火虽然现在还是东部第四，但是他们已经和第一的篮网拉到了3个胜场的距离，本来热火也一度成为了东部榜首，但是巴特勒和莫里斯一度缺席比赛，魔兽受伤让以整体著称的热火受到了严重削弱。最直观的表现就是热火曾一度在本赛季是失分最少的球队，不过随着各种事端发生，热火场均失分已经变成联盟第三。
至于篮网他们的问题就更严重了，哈登的状态只是内部问题之一，哈里斯因为骨刺的问题已经高挂免战牌，大概满血归来要全明星之后，而米尔萨普也刚刚触发安全协议，欧文的问题在本赛季如果不能解决，现在看起来杜兰特这样想要扛到最后，真的非常的困难，毕竟上个赛季篮网没有欧文最终他们输给了雄鹿。黄蜂也在本赛季受到了安全协议的巨大影响，他们一度也是冲击东部前三的有力争夺者，但是一度主力因为触发安全协议也一度处于团灭的边缘，如今黄蜂战绩已经跌至到了东部第八的位置。那么雄鹿队呢？显然在东部的内耗和各种外因之下，雄鹿和其他东部球队正在形成此消彼长之势，卷土重来。
其实如果不是中途字母哥曾经轮休，那么雄鹿可能已经是东部第一，如今他们也已经以18胜10负来到东部第二的位置，反超了同赛区的公牛队。雄鹿本赛季的问题是攻强守弱，第8的攻击能力还不错的，但是相对而言防守只有联盟第14，但是他们的两分球防守已经对比同期上扬了10%，联盟前三水准，相比篮网的进攻缓慢，热火动辄的进攻哑火，雄鹿依然体现出来了强大的均衡能力，稳定和均衡的输出是本赛季在东部惨烈环境之下的法宝。而字母哥实际上在MVP统治力的榜单上，已经无限接近甚至个人既视感上比杜兰特和库里还要抢眼。
赛季至今，字母哥的效率值31.1直追约基奇联盟第二，胜利贡献值4.8联盟第二，防守胜利贡献值1.6联盟第四，每48分钟的胜利贡献值联盟第三，每分钟进攻效率联盟第三，每分钟防守效率联盟第三，防守效率100.5联盟第五，使用率34联盟第三，总得分联盟第五，场均得分27.3分联盟第二，总篮板联盟第六，场均篮板联盟第六，场均封盖联盟第十，罚球出手和罚球命中都是联盟第一，联盟本赛季根本没有一个人可以在攻防两端和对球队的影响力上，多达15个重要数据全部排名联盟前十的位置，杜兰特和库里也做不到。此外一个球星在不在场对球队的影响力上，字母哥也仅次于一个人拼杀的约基奇，字母在场雄鹿多得110分，防守少丢50分，联盟第二。也就是说字母哥的16个衡量个人和对团队影响的指标，基本上都是前五和前十级别，如果雄鹿最终稳居东部第一，那么字母哥这样的表现可能无可挑剔，有机会逆袭杜兰特和库里的MVP之战。#垂直领域点亮计划#
雄鹿正在展现卫冕冠军的强大底蕴，以及字母哥展现出来的MVP的绝对的统治力，让雄鹿有可能重新成为东部的霸主，而字母哥也有可能在MVP的榜单上重新杀到C位，本赛季夺冠的游戏和MVP的战争中，雄鹿和字母哥都已经悄然回到了顶级的行列。
整个东部的大环境，本赛季本应该就是最惨烈的存在，第一个月开赛的之后东部只有两支鱼腩球队，即便是现在，东部的竞争依然惨烈到了空前的程度，东部的第13的步行者此前正在嚷嚷重建，而然还是通过一波连胜缩小差距，都不用说是东部第八了，就是和东部第五的骑士队也只不过有4个胜场的差距，而在西部第13的火箭和第八也足足差了5个胜场。
雄鹿因为伤病的问题轮转出现了危机，这让卫冕冠军一度在开赛之后的一个月挣扎前行，落到了东部第12的位置。东部本赛季崛起的黑马球队如奇才和公牛，骑士也卷土重来，黄蜂同样打的非常好，然而在最近的两周的时间，东部的格局一下就发生了巨大的变化，这个变化的原因就是疫情以及伤病，直接改变了现在东部战绩的走势。
先说公牛队，他们一度成为东部第一，但是如今因为触发疫情安全协议，公牛队一度只能有8人进行轮换，他们竟然有多达10个球员触发了安全协议，NBA最终在本赛季首次决定比赛延期，公牛队看起来是得到了喘息，但实际上他们错失了冲击东部第一的机会，此前他们两次封杀篮网一度就只差了0.5个胜场，如今公牛队什么时候可以从安全协议中找回状态，似乎不得而知。
热火这边同样触发过安全协议，但是阿德巴约的受伤才是最让他们受伤的，魔兽是本赛季热火的内线第一核心和防守屏障，热火虽然现在还是东部第四，但是他们已经和第一的篮网拉到了3个胜场的距离，本来热火也一度成为了东部榜首，但是巴特勒和莫里斯一度缺席比赛，魔兽受伤让以整体著称的热火受到了严重削弱。最直观的表现就是热火曾一度在本赛季是失分最少的球队，不过随着各种事端发生，热火场均失分已经变成联盟第三。
至于篮网他们的问题就更严重了，哈登的状态只是内部问题之一，哈里斯因为骨刺的问题已经高挂免战牌，大概满血归来要全明星之后，而米尔萨普也刚刚触发安全协议，欧文的问题在本赛季如果不能解决，现在看起来杜兰特这样想要扛到最后，真的非常的困难，毕竟上个赛季篮网没有欧文最终他们输给了雄鹿。黄蜂也在本赛季受到了安全协议的巨大影响，他们一度也是冲击东部前三的有力争夺者，但是一度主力因为触发安全协议也一度处于团灭的边缘，如今黄蜂战绩已经跌至到了东部第八的位置。那么雄鹿队呢？显然在东部的内耗和各种外因之下，雄鹿和其他东部球队正在形成此消彼长之势，卷土重来。
其实如果不是中途字母哥曾经轮休，那么雄鹿可能已经是东部第一，如今他们也已经以18胜10负来到东部第二的位置，反超了同赛区的公牛队。雄鹿本赛季的问题是攻强守弱，第8的攻击能力还不错的，但是相对而言防守只有联盟第14，但是他们的两分球防守已经对比同期上扬了10%，联盟前三水准，相比篮网的进攻缓慢，热火动辄的进攻哑火，雄鹿依然体现出来了强大的均衡能力，稳定和均衡的输出是本赛季在东部惨烈环境之下的法宝。而字母哥实际上在MVP统治力的榜单上，已经无限接近甚至个人既视感上比杜兰特和库里还要抢眼。
赛季至今，字母哥的效率值31.1直追约基奇联盟第二，胜利贡献值4.8联盟第二，防守胜利贡献值1.6联盟第四，每48分钟的胜利贡献值联盟第三，每分钟进攻效率联盟第三，每分钟防守效率联盟第三，防守效率100.5联盟第五，使用率34联盟第三，总得分联盟第五，场均得分27.3分联盟第二，总篮板联盟第六，场均篮板联盟第六，场均封盖联盟第十，罚球出手和罚球命中都是联盟第一，联盟本赛季根本没有一个人可以在攻防两端和对球队的影响力上，多达15个重要数据全部排名联盟前十的位置，杜兰特和库里也做不到。此外一个球星在不在场对球队的影响力上，字母哥也仅次于一个人拼杀的约基奇，字母在场雄鹿多得110分，防守少丢50分，联盟第二。也就是说字母哥的16个衡量个人和对团队影响的指标，基本上都是前五和前十级别，如果雄鹿最终稳居东部第一，那么字母哥这样的表现可能无可挑剔，有机会逆袭杜兰特和库里的MVP之战。#垂直领域点亮计划#
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